Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC:

$9^2+{12}^2=x^2$  

$81+144=x^2$  

$225=x^2$  

$x=15$  

---

Z twierdzenia o dwusiecznej dla kąta 2α:

$\frac{\left|AB\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|AD\right|}{\left|DC\right|}$  

$\frac{\left|AB\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|AD\right|}{\left|AC\right|-\left|AD\right|}$  

$\frac{9}{15}=\frac{\left|AD\right|}{12-\left|AD\right|}$  

$\frac{3}{5}=\frac{\left|AD\right|}{12-\left|AD\right|}$  

Mnożymy na krzyż.

$5\left|AD\right|=3\left(12-\left|AD\right|\right)$  

$5\left|AD\right|=36-3\left|AD\right|$  

$8\left|AD\right|=36\mid :8$  

$\left|AD\right|=\frac{9}{2}$  

---

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABD:

${\left|AB\right|}^2+{\left|AD\right|}^2={\left|BD\right|}^2$  

$9^2+{\left(\frac{9}{2}\right)}^2=d^2$  

$81+\frac{81}{4}=d^2$  

$81\cdot \left(1+\frac{1}{4}\right)=d^2$  

$81\cdot 1\frac{1}{4}=d^2$  

$81\cdot \frac{5}{4}=d^2$  

$\frac{81}{4}\cdot 5=d^2$  

$d=\frac{9}{2}\sqrt{5}$  

---

Z twierdzenia o dwusiecznej dla kąta 2β:

$\frac{\left|AC\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|AE\right|}{\left|EB\right|}$  

$\frac{\left|AC\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|AE\right|}{\left|AB\right|-\left|AE\right|}$  

$\frac{12}{15}=\frac{\left|AE\right|}{9-\left|AE\right|}$  

$\frac{4}{5}=\frac{\left|AE\right|}{9-\left|AE\right|}$  

Mnożymy na krzyż.

$5\left|AE\right|=4\left(9-\left|AE\right|\right)$  

$5\left|AE\right|=36-4\left|AE\right|$  

$9\left|AE\right|=36\mid :9$  

$\left|AE\right|=4$  

---

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ACE:

${\left|AE\right|}^2+{\left|AC\right|}^2={\left|CE\right|}^2$  

$4^2+{12}^2=p^2$  

$16+144=p^2$  

$160=p^2$  

$p=4\sqrt{10}$  

---

Odp. Dwusieczne kątów ostrych trójkąta są równe: $\frac{9}{2}\sqrt{5},4\sqrt{10}.$