Rysunek pomocniczy:

---

a) Mamy dane:

$\left|AB\right|=12$  

$\left|AC\right|=8$  

$\left|PQ\right|:\left|QR\right|=3:2\Rightarrow \left|PQ\right|=\frac{3}{2}\left|QR\right|$  

---

PQ||AB i QR||AC, więc czworokąt APQR jest równoległobokiem. Stąd:

$\left|AR\right|=\left|PQ\right|=\frac{3}{2}\left|QR\right|$  

$\left|AP\right|=\left|QR\right|$  

---

PQ||AB, więc trójkąty PQC i ABC są podobne na podstawie cechy KKK. Z podobieństwa tych trójkątów:

$\frac{\left|PC\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|PQ\right|}{\left|AB\right|}$  

$\frac{\left|AC\right|-\left|AP\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|PQ\right|}{\left|AB\right|}$  

$\frac{8-\left|QR\right|}{8}=\frac{\frac{3}{2}\left|QR\right|}{12}\mid \cdot 4$  

$\frac{8-\left|QR\right|}{2}=\frac{\frac{3}{2}\left|QR\right|}{3}$  

Mnożymy na krzyż.

$2\cdot \frac{3}{2}\left|QR\right|=3\left(8-\left|QR\right|\right)$  

$3\left|QR\right|=24-3\left|QR\right|$  

$6\left|QR\right|=24\mid :6$  

$\left|QR\right|=4$  

---

Wówczas:

$\left|PQ\right|=\frac{3}{2}\left|QR\right|=\frac{3}{2}\cdot 4=6$  

---

$\text{Odp.}\left|AR\right|=\left|PQ\right|=6,\left|AP\right|=\left|QR\right|=4.$  

---

---

b) Mamy dane:

$\left|AB\right|=a$  

$\left|AC\right|=b$  

$\left|PQ\right|:\left|QR\right|=1\Rightarrow \left|PQ\right|=\left|QR\right|$  

---

PQ||AB i QR||AC, więc czworokąt APQR jest równoległobokiem.

Ponadto |PQ|=|QR|, więc równoległobok APQR jest rombem.

Stąd:

$\left|AR\right|=\left|PQ\right|=\left|AP\right|=\left|QR\right|$  

---

PQ||AB, więc trójkąty PQC i ABC są podobne na podstawie cechy KKK. Z podobieństwa tych trójkątów:

$\frac{\left|PC\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|PQ\right|}{\left|AB\right|}$  

$\frac{\left|AC\right|-\left|AP\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|PQ\right|}{\left|AB\right|}$  

$\frac{b-\left|QR\right|}{b}=\frac{\left|QR\right|}{a}$  

Mnożymy na krzyż.

$b\cdot \left|QR\right|=a\left(b-\left|QR\right|\right)$  

$b\cdot \left|QR\right|=ab-a\cdot \left|QR\right|$  

$a\cdot \left|QR\right|+b\cdot \left|QR\right|=ab$  

$\left(a+b\right)\cdot \left|QR\right|=ab\mid :\left(a+b\right)$  

$\left|QR\right|=\frac{ab}{a+b}$  

---

$\text{Odp.}\left|AR\right|=\left|PQ\right|=\left|AP\right|=\left|QR\right|=\frac{ab}{a+b}.$