Wyznacz współrzędne wierzchołka D ...- Zadanie 19: MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a)$

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Czworokąt $A B C D$ jest równoległobokiem. Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Oznacza to, że prosta zawierająca bok $B C$ jest równoległa do prostej zawierającej bok $A D$ , a prosta zawierająca bok $A B$ jest równoległa do prostej zawierającej bok $D C$ .

Proste $y = a_{1} x + b_{1} i y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:

$a_{1} = a_{2}$

Współczynnik kierunkowy prostej o równaniu $y = a x + b$ , przechodzącej przez punkty $(x_{1}, y_{1}) i (x_{2}, y_{2})$ , gdzie $x_{1} \neq = x_{2}$ , jest równy:

$a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

Wyznaczamy współczynniki kierunkowe prostych przechodzących przez punkty $B C i A B$ .

$a_{B C} = \frac{- 3 - ( - 5 )}{8 - 2} = \frac{- 3 + 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$a_{A B} = \frac{- 5 - ( - 2 )}{2 - 1} = \frac{- 5 + 2}{1} = \frac{- 3}{1} = - 3$

Równania prostych zawierających boki $A D i C D$ możemy zapisać w postaci:

$A D : y = \frac{1}{3} x + b$

$C D : y = - 3 x + d$

Do równania prostej $A D$ podstawiamy współrzędne punktu $A$ i wyznaczamy wyraz wolny $b$ .

$- 2 = \frac{1}{3} \cdot 1 + b$

$- 2 = \frac{1}{3} + b$

$b = - 2 \frac{1}{3}$

Do równania prostej $C D$ podstawiamy współrzędne punktu $C$ i wyznaczamy wyraz wolny $d$ .

$- 3 = (- 3) \cdot 8 + d$

$- 3 = - 24 + d$

$d = 21$

Mamy więc:

$A D : y = \frac{1}{3} x - 2 \frac{1}{3}$

$C D : y = - 3 x + 21$

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia tych prostych (czyli współrzędne punktu $D$ ).

${y = \frac{1}{3} x - 2 \frac{1}{3} y = - 3 x + 21$

${y = \frac{1}{3} x - 2 \frac{1}{3} \frac{1}{3} x - 2 \frac{1}{3} = - 3 x + 21$

${y = \frac{1}{3} x - 2 \frac{1}{3} \frac{1}{3} x - \frac{7}{3} = - 3 x + 21 ∣ \cdot 3$

${y = \frac{1}{3} x - 2 \frac{1}{3} x - 7 = - 9 x + 63 ∣ + 9 x$

${y = \frac{1}{3} x - 2 \frac{1}{3} 10 x - 7 = 63 ∣ + 7$

${y = \frac{1}{3} x - 2 \frac{1}{3} 10 x = 70 ∣ : 10$

${y = \frac{1}{3} x - 2 \frac{1}{3} x = 7$

${y = \frac{1}{3} \cdot 7 - 2 \frac{1}{3} x = 7$

${y = \frac{7}{3} - 2 \frac{1}{3} x = 7$

${y = 0 x = 7$

${x = 7 y = 0$

Zatem:

$D = (7, 0)$

Sprawdzamy, czy czworokąt $A B C D$ jest prostokątem. Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i dwie pary boków tej samej długości. Z treści zadania wiemy, że czworokąt $A B C D$ jest równoległobokiem. Przeciwległe boki w równoległoboku mają taką samą długość. Wystarczy zatem sprawdzić, czy kąty w tym równoległoboku są proste.

Proste $y = a_{1} x + b_{1} (a_{1} \neq = 0) i y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

$a_{2} = - \frac{1}{a _{1}}$

Iloczyn współczynników prostych zawierających sąsiednie boki czworokąta $A B C D$ jest równy -1.

$a_{A B} \cdot a_{B C} = (- 3) \cdot \frac{1}{3} = - 1$

$a_{B C} \cdot a_{C D} = \frac{1}{3} \cdot (- 3) = - 1$

$a_{C D} \cdot a_{A D} = (- 3) \cdot \frac{1}{3} = - 1$

$a_{A D} \cdot a_{A B} = \frac{1}{3} \cdot (- 3) = - 1$

Oznacza to, że czworokąt $A B C D$ jest prostokątem.

Sprawdzamy, czy prostokąt $A B C D$ jest kwadratem. Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki tej samej długości. Wyznaczamy długości dwóch sąsiednich boków prostokąta $A B C D$ .

Wyznaczamy długość boku $A B$ , stosując twierdzenie Pitagorasa.

$∣ A B ∣^{2} = 3^{2} + 1^{2}$

$∣ A B ∣^{2} = 9 + 1$

$∣ A B ∣^{2} = 10$

$∣ A B ∣ = 10$

Wyznaczamy długość boku $B C$ , stosując twierdzenie Pitagorasa.

$∣ B C ∣^{2} = 6^{2} + 2^{2}$

$∣ B C ∣^{2} = 36 + 4$

$∣ B C ∣^{2} = 40$

$∣ B C ∣ = 210$

Sąsiednie boki prostokąta $A B C D$ nie mają takich samych długości, więc czworokąt $A B C D$ nie jest kwadratem.

Czworokąt $A B C D$ jest prostokątem.

$b)$

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Proste $y = a_{1} x + b_{1} i y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:

$a_{1} = a_{2}$

Współczynnik kierunkowy prostej o równaniu $y = a x + b$ , przechodzącej przez punkty $(x_{1}, y_{1}) i (x_{2}, y_{2})$ , gdzie $x_{1} \neq = x_{2}$ , jest równy:

$a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

Wyznaczamy współczynniki kierunkowe prostych przechodzących przez punkty $B C i A B$ .

$a_{B C} = \frac{0 - 0}{3 - ( - 2 )} = 0$

$a_{A B} = \frac{0 - 4}{- 2 - ( - 5 )} = \frac{- 4}{- 2 + 5} = \frac{- 4}{3} = - \frac{4}{3}$

Równania prostych zawierających boki $A D i C D$ możemy zapisać w postaci:

$A D : y = b$

$C D : y = - \frac{4}{3} x + d$

Do równania prostej $A D$ podstawiamy współrzędne punktu $A$ i wyznaczamy wyraz wolny $b$ .

$4 = b$

$b = 4$

Do równania prostej $C D$ podstawiamy współrzędne punktu $C$ i wyznaczamy wyraz wolny $d$ .

$0 = - \frac{4}{3} \cdot 3 + d$

$0 = - 4 + d$

$d = 4$

Mamy więc:

$A D : y = 4$

$C D : y = - \frac{4}{3} x + 4$

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia tych prostych (czyli współrzędne punktu $D$ ).

${y = 4 y = - \frac{4}{3} x + 4$

${y = 4 4 = - \frac{4}{3} x + 4 ∣ - 4$

${y = 4 0 = - \frac{4}{3} x ∣ : (- \frac{4}{3})$

${y = 4 0 = x$

${x = 0 y = 4$

Zatem:

$D = (0, 4)$

Proste $y = a_{1} x + b_{1} (a_{1} \neq = 0) i y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

$a_{2} = - \frac{1}{a _{1}}$

Iloczyn współczynników prostych zawierających sąsiednie boki czworokąta $A B C D$ nie jest równy -1.

$a_{A B} \cdot a_{B C} = (- \frac{4}{3}) \cdot 0 = 0$

Oznacza to, że czworokąt $A B C D$ nie jest prostokątem.

Sprawdzamy, czy równoległobok $A B C D$ jest rombem. Romb to czworokąt, który ma wszystkie boki tej samej długości. Wyznaczamy długości dwóch sąsiednich boków czworokąta $A B C D$ .