Wykres funkcji $y=\left|f\left(x\right)\right|$  otrzymujemy przez symetryczne odbicie względem osi $OX$  tej części wykresu funkcji $f$ , która znajduje się pod osią $OX$ , pozostałą część wykresu pozostawiamy bez zmian.

 

$\text{a)}$  

Wykres funkcji  $f\left(x\right)=\left|2x-5\right|+1$  powstał przez symetryczne odbicie względem osi $OX$  tej części wykresu funkcji $y=2x$ , która znajdowała się pod osią $OX$  (pozostała część wykresu pozostawiona została bez zmian), a następnie przesunięcie otrzymanego wykresu o wektor  $\left[-2,5;1\right]$ . 

$y=2x\stackrel{|f\left(x\right)|}{\to }y=\left|2x\right|\stackrel{T_{\left[-2,5;1\right]}}{\to }f\left(x\right)=\left|2\left(x-2,5\right)\right|+1=\left|2x-5\right|+1$  

Zbiorem wartości funkcji  $y=\left|2x\right|$  jest przedział  $⟨0;+\infty )$ . Natomiast zbiorem wartości funkcji  $f\left(x\right)=\left|2x-5\right|+1$ , która powstała m.in. przez przesunięcie wykresu funkcji  $y=\left|2x\right|$  o 1 jednostkę w górę wzdłuż osi  $OX$ , jest przedział:  $⟨1;+\infty )$ .

Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi  $OX$  nie zmienia zbioru wartości funkcji.

Mamy więc:

$f\left(D_f\right)=⟨1;+\infty )$  

---

$\text{b)}$  

Wykres funkcji  $f\left(x\right)=1-\left|4x+1\right|$  powstał przez symetryczne odbicie względem osi $OX$  tej części wykresu funkcji $y=4x$ , która znajdowała się pod osią $OX$  (pozostała część wykresu pozostawiona została bez zmian), a następnie symetryczne odbicie otrzymanego wykresu względem osi $OX$  oraz przesunięcie wykresu o wektor  $\left[-\frac{1}{4};1\right]$ . 

$y=4x\stackrel{|f\left(x\right)|}{\to }y=\left|4x\right|\stackrel{S_{OX}}{\to }y=-\left|4x\right|\stackrel{T_{\left[-\frac{1}{4};1\right]}}{\to }f\left(x\right)=-\left|4\left(x+\frac{1}{4}\right)\right|+1=1-\left|4x+1\right|$  

Zbiorem wartości funkcji  $y=-\left|4x\right|$  jest przedział  $(-\infty ;0⟩$ . Natomiast zbiorem wartości funkcji  $f\left(x\right)=1-\left|4x+1\right|$ , która powstała m.in. przez przesunięcie wykresu funkcji  $y=\left|2x\right|$  o 1 jednostkę w górę wzdłuż osi  $OX$ , jest przedział:  $(-\infty ;1⟩$ .

Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi  $OX$  nie zmienia zbioru wartości funkcji.

Mamy więc:

$f\left(D_f\right)=(-\infty ;1⟩$