Przyjmijmy następujące oznaczenia:

A - zbiór uczniów, którzy rozwiązali zadanie 1

B - zbiór uczniów, którzy rozwiązali zadanie 2

C - zbiór uczniów, którzy rozwiązali zadanie 3

Każdy uczeń rozwiązał dwa zadania. Możemy więc zapisać: 

$\left|A\cap B\right|+\left|A\cap C\right|=23$  

$\left|B\cap C\right|+\left|B\cap A\right|=10$  

$\left|A\cap C\right|+\left|B\cap C\right|=21$  

(pionowe kreski oznaczają liczbę elementów danego zbioru)

Rysunek pomocniczy:

Po dodaniu równości stronami otrzymujemy:

$\left|A\cap B\right|+\left|A\cap C\right|+\left|B\cap C\right|+\left|B\cap A\right|+\left|A\cap C\right|+\left|B\cap C\right|=23+10+21$  

$2\left|A\cap B\right|+2\left|B\cap C\right|+2\left|A\cap C\right|=54$  

$2\left(\left|A\cap B\right|+\left|B\cap C\right|+\left|A\cap C\right|\right)=54\mid :2$  

$\left|A\cap B\right|+\left|B\cap C\right|+\left|A\cap C\right|=27$  

Kartkówkę pisało 27 uczniów.