a)

Zauważmy, że aby suma 

$\left(a,b\right)\cup \left(c,d\right)$

była przedziałem, to część wspólna przedziałów otwartych (a, b) oraz (c, d) musi być niepusta.

Ponadto istnienie poszczególnych przedziałów gwarantuje warunek a < b, c < d.  

Rozważmy przypadki: 

I. a ⩽ c 

suma (a,b) ∪ (c,d) będzie przedziałem gdy b⩽d lub d⩽b (co ilustruje poniższy rysunek)

                 

 

 

 

 

 

czyli powyższe dwie sytuacje możemy opisać nierównościami

$a⩽c<b⩽d,a⩽c<d⩽b$

(w pierwszej nierówności mamy c<b, ponieważ gdyby punkty c i b się pokryły, to zamiast przedziału otrzymujemy sumę przedziałów)

II. c ⩽ a 

podana suma będzie przedziałem gdy b⩽d lub d⩽b (co ilustruje poniższy rysunek)

czyli powyższe dwa przypadki możemy opisać nierównościami

$c⩽a<b⩽d,c⩽a<d⩽b$

(w drugiej nierówności mamy a<d, ponieważ gdyby punkty a i d się pokryły, to zamiast przedziału otrzymujemy sumę przedziałów)

Podsumowując dostajemy, że podana suma jest przedziałem, gdy 

$a⩽c<b⩽d\text{lub}a⩽c<d⩽b\text{lub}c⩽a<b⩽d\text{lub}c⩽a<d⩽b$ 

---

b)

Chcemy aby zachodził warunek 

$\left(a,b\right)\subset \left(c,d\right)$   

czyli przedział (a,b) ma zawierać się w przedziale (c,d), przy czym te przedziały nie mają być równoważne, czyli a ≠ c i b ≠ d. 

Ponadto istnienie poszczególnych przedziałów gwarantuje warunek a < b, c < d.  

Taką sytuację ilustruje poniższy rysunek 

korzystając z rysunku i wcześniejszych założeń dostajemy, że musi być spełniona nierówność 

$c<a<b<d$