$\frac{a^2+b^2}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$  

Podana nierówność jest równoważna kolejno:  

$\frac{a^2+b^2}{2}\ge \frac{a^2+2ab+b^2}{4}\mid \cdot 4$   

$2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2$  

$2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2\ge 0$  

$a^2-2ab+b^2\ge 0$  

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$  

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb a,b, zatem pierwsza nierówność również jest prawdziwa.

Nierówność staje się równością dla a=b.