Załóżmy, że jest to liczba wymierna.

Skoro jest to liczba wymierna to istnieją liczby całkowite dodatnie m i n, dla których zachodzą następujące równości: 

$\sqrt{2}-\sqrt{3}=\frac{m}{n}{\mid }^2$  

${\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}^2=\frac{m^2}{n^2}$  

${\sqrt{2}}^2-2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+{\sqrt{3}}^2=\frac{m^2}{n^2}$

$2-2\sqrt{6}+3=\frac{m^2}{n^2}$  

$5-2\sqrt{6}=\frac{m^2}{n^2}$  

$-2\sqrt{6}=\frac{m^2}{n^2}-5$  

$-2\sqrt{6}=\frac{m^2}{n^2}-\frac{5n^2}{n^2}$  

$-2\sqrt{6}=\frac{m^2-5n^2}{n^2}\mid :\left(-2\right)$  

$\sqrt{6}=\frac{m^2-5n^2}{-2n^2}$  

Ostatnia równość oznacza wymierność liczby  $\sqrt{6},$   co jak wiemy jest niemożliwe (Przykład 2. strona 205 w Podręczniku).

Zatem pokazaliśmy, że liczba  $\sqrt{2}-\sqrt{3}$   jest niewymierna.