a) Obliczmy wartość wyrażenia 3n²+3n dla kilku wybranych wartości n.

• dla n=0:

$3\cdot 0^2+3\cdot 0=0+0=0$  

• dla n=1:

$3\cdot 1^2+3\cdot 1=3\cdot 1+3=3+3=6$  

• dla n=2:

$3\cdot 2^2+3\cdot 2=3\cdot 4+6=12+6=18$  

Widzimy, że dla trzech wybranych wartości n liczba 3n²+3n jest podzielna przez 6. Pokażmy to formalnie:

$3n^2+3n=3n\left(n+1\right)$  

Wiemy, że liczba jest podzielna przez 6, gdy jest podzielna przez 2 i przez 3. Zapisaliśmy liczbę 3n²+3n jako iloczyn 3n(n+1). Liczby n i (n+1) to dwie kolejne liczby całkowite, więc jedna z nich jest parzysta (podzielna przez 2). Wynika stąd, że iloczyn 3n(n+1) jest podzielny przez 2 i przez 3, a więc podzielny przez 6.

Uzasadniliśmy, że liczba 3n²+3n jest podzielna przez 6 dla każdego n ∈ Z. Oznacza to, że forma zdaniowa a) jest tożsamościowa (spełnia ją każdy element z dziedziny).

---

b) Przekształćmy równoważnie daną nierówność.

$x^2+1<2x$  

$x^2-2x+1<0$  

${\left(x-1\right)}^2<0$  

Powyższa nierówność jest sprzeczna, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną. Oznacza to, że forma zdaniowa b) jest sprzeczna (nie spełnia jej żaden element z dziedziny).

---

c) Obliczmy wartość wyrażenia x²-x-6 dla kilku wybranych argumentów:

• dla x=0:

$0^2-0-6=-6<0$  

• dla x=1:

$1^2-1-6=1-1-6=-6<0$  

• dla x=2:

$2^2-2-6=4-8=-4<0$  

• dla x=3:

$3^2-3-6=9-9=0$  

• dla x=4:

$4^2-4-6=16-16=0\ge 0$  

Otrzymaliśmy, że dla niektórych argumentów nierówność jest prawdziwa, a dla innych fałszywa. Oznacza to, że istnieje element dziedziny, który spełnia formę zdaniową c) (np. x=4) i taki, który jej nie spełnia (np. x=0).