Oblicz...- Zadanie 1: Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 1

Rozwiązanie

Uwaga: w przykładzie a) jest błąd ponieważ zgodnie z definicją:

$(n k) = \frac{n !}{k ! \cdot ( n - k ) !}$

gdy:

$0 \leq k \leq n$

być może autor zadania miał na myśli

$(75)$

$a) (75) = \frac{7 !}{5 ! \cdot ( 7 - 5 ) !} = \frac{5 ! ^{1} \cdot 6 \cdot 7}{5 ! _{1} \cdot 2} = \frac{6 ^{3} \cdot 7}{2 _{1}} = 3 \cdot 7 = 21$

$b) (80) = \frac{8 !}{0 ! \cdot ( 8 - 0 ) !} = \frac{8 !}{8 !} = 1$

$c) (44) = \frac{4 !}{4 ! \cdot ( 4 - 4 ) !} = \frac{4 !}{4 !} = 1$

$d) (109) = \frac{10 !}{9 ! \cdot ( 10 - 9 ) !} = \frac{9 ! ^{1} \cdot 10}{9 ! _{1} \cdot 1 !} = \frac{10}{1} = 10$

$e) (63) = \frac{6 !}{3 ! \cdot ( 6 - 3 ) !} = \frac{3 ! \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{3 ! \cdot 3 !} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 6}{3 !} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 6 ^{1}}{6 _{1}} = 4 \cdot 5 = 20$

$f) (84) = \frac{8 !}{4 ! \cdot ( 8 - 4 ) !} = \frac{4 ! ^{1} \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{4 ! _{1} \cdot 4 !} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{4 !} = \frac{5 \cdot 6 ^{2} \cdot 7 \cdot 8 ^{2}}{2 \cdot 3 _{1} \cdot 4 _{1}} = \frac{5 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 ^{1}}{2 _{1}} = 70$

$g) (119) = \frac{11 !}{9 ! \cdot ( 11 - 9 ) !} = \frac{9 ! ^{1} \cdot 10 \cdot 11}{9 ! _{1} \cdot 2 !} = \frac{10 ^{5} \cdot 11}{2} = 55$

$h) (74) = \frac{7 !}{4 ! \cdot ( 7 - 4 ) !} = \frac{4 ! ^{1} \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{4 ! _{1} \cdot 3 !} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{2 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 6 ^{1} \cdot 7}{6 _{1}} = 5 \cdot 7 = 35$

$i) (82) - (64) = \frac{8 !}{2 ! \cdot ( 8 - 2 ) !} - \frac{6 !}{4 ! \cdot ( 6 - 4 ) !} = \frac{6 ! ^{1} \cdot 7 \cdot 8}{2 \cdot 6 ! _{1}} - \frac{4 ! ^{1} \cdot 5 \cdot 6}{4 ! _{1} \cdot 2 !} = \frac{7 \cdot 8 ^{4}}{2 _{1}} - \frac{5 \cdot 6 ^{3}}{2 _{1}} = 28 - 5 \cdot 3 = 28 - 15 = 13$

$j) (85) \cdot (98) = \frac{8 !}{5 ! \cdot ( 8 - 5 ) !} \cdot \frac{9 !}{8 ! \cdot ( 9 - 8 ) !} = \frac{5 ! ^{1} \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{5 ! _{1} \cdot 3 !} \cdot \frac{8 ! ^{1} \cdot 9}{8 ! _{1} \cdot 1 !} = \frac{6 ^{1} \cdot 7 \cdot 8}{6 _{1}} \cdot 9 = 7 \cdot 8 \cdot 9 = 504$

$k) \frac{( 5 3 )}{( 4 2 )} = \frac{\frac{5 !}{3 ! \cdot ( 5 - 3 ) !}}{\frac{4 !}{2 ! \cdot ( 4 - 2 ) !}} = \frac{\frac{3 ! \cdot 4 \cdot 5}{3 ! \cdot 2 !}}{\frac{2 ! \cdot 3 \cdot 4}{2 ! \cdot 2 !}} = \frac{\frac{20}{2}}{\frac{12}{2}} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$

$l) (98) + (98) = \frac{9 !}{8 ! \cdot ( 9 - 8 ) !} + \frac{9 !}{8 ! \cdot ( 9 - 8 ) !} = \frac{8 ! \cdot 9}{8 ! \cdot 1 !} + \frac{8 ! \cdot 9}{8 ! \cdot 1 !} = 9 + 9 = 18$

$m) (55) + (65) + (75) + (85) = \frac{5 !}{5 ! \cdot ( 5 - 5 ) !} + \frac{6 !}{5 ! \cdot ( 6 - 5 ) !} + \frac{7 !}{5 ! \cdot ( 7 - 5 ) !} + \frac{8 !}{5 ! \cdot ( 8 - 5 ) !} = 1 + 6 + \frac{6 \cdot 7}{2} + \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{3 !} = 7 + 21 + \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{6} = 28 + 56 = 84$

$n) (30) + (31) + (32) + (33) = \frac{3 !}{0 ! \cdot ( 3 - 0 ) !} + \frac{3 !}{1 ! \cdot ( 3 - 1 ) !} + \frac{3 !}{2 ! \cdot ( 3 - 2 ) !} + \frac{3 !}{3 ! \cdot ( 3 - 3 ) !} = 1 + 3 + 3 + 1 = 8$