Sprawdźmy A.

Rozważmy funkcję  $f\left(x\right)=x^3,x\in \mathbb{R}.$  

Wyznaczmy pochodną tej funkcji. 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2$    

Zauważmy, że  $f{}^{\prime }\left(x\right)=0\text{dla}x=0.$  

Łatwo zauważyć, że funkcja f nie ma w tym punkcie ekstremum, ponieważ funkcja  $f{}^{\prime }\left(x\right)\ge 0\forall x\in \mathbb{R}.$  

Zatem zdanie A. nie jest prawdziwe.

---

Sprawdźmy B.

Zgodnie z def. 3 (podręcznik strona 157) 

Punkt x₀ nazywamy punktem krytycznym wtedy i tylko wtedy, gdy f'(x₀)=0 lub f'(x₀) nie istnieje.

Zatem zdanie B. jest prawdziwe.

Odp. B

---

Sprawdźmy C.

Zgodnie z def. 3 (podręcznik strona 157) 

Punkt x₀ nazywamy punktem krytycznym wtedy i tylko wtedy, gdy f'(x₀)=0 lub f'(x₀) nie istnieje.

Łatwo zauważyć, że w punkcie krytycznym funkcja może mieć ekstremum ale nie musi - przykład f(x)=x³.

---

Sprawdźmy D.

Zauważmy, że funkcja f(x)=x³ jest różniczkowalna i rosnąca w zbiorze R.

Warunek f'(x)>0 nie jest spełniony dla x=0.