a)

D_f=R, więc funkcja f jest określona w otoczeniu punktu 5. Niech h będzie dowolną liczbą rzeczywistą, różną od 0. Obliczamy:  

$f\left(h+5\right)=2{\left(h+5\right)}^3=2\left(h^3+3h^2\cdot 5+3h\cdot 5^2+5^3\right)=2\left(h^3+15h^2+75h+125\right)=2h^3+30h^2+150h+250$  

$f\left(5\right)=2\cdot 5^3=2\cdot 125=250$  

 

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(h+5\right)-f\left(5\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2h^3+30h^2+150h+250-250}{h}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2h^3+30h^2+150h}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left(2h^2+30h+150\right)=150$  

 

Zatem otrzymaliśmy:

$f{}^{\prime }\left(5\right)=150$  

---

b)

D_f=R, więc funkcja f jest określona w otoczeniu punktu -2. Niech h będzie dowolną liczbą rzeczywistą, różną od 0. Obliczamy:  

$f\left(h-2\right)=-{\left(h-2\right)}^3+{\left(h-2\right)}^2-\left(h-2\right)=$  

$=-\left(h^3-3h^2\cdot 2+3h\cdot 2^2-2^3\right)+\left(h^2-4h+4\right)-h+2=$  

$=-h^3+6h^2-12h+8+h^2-4h+4-h+2=-h^3+7h^2-17h+14$  

$f\left(-2\right)=-{\left(-2\right)}^3+{\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)=-\left(-8\right)+4+2=8+4+2=14$  

 

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(h-2\right)-f\left(-2\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-h^3+7h^2-17h+14-14}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-h^3+7h^2-17h}{h}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\left(-h^2+7h-17\right)=-17$  

 

Zatem otrzymaliśmy:

$f{}^{\prime }\left(-2\right)=-17$  

---

c)

D_f=R-{5}, więc funkcja f jest określona w otoczeniu punktu 1. Niech h będzie dowolną liczbą rzeczywistą, różną od 0. Obliczamy:  

$f\left(h+1\right)=\frac{h+1+3}{h+1-5}=\frac{h+4}{h-4}$  

$f\left(1\right)=\frac{1+3}{1-5}=\frac{4}{-4}=-1$  

 

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(h+1\right)-f\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{h+4}{h-4}+1}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{h+4}{h-4}+\frac{h-4}{h-4}}{h}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{h+4+h-4}{h-4}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{2h}{h-4}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2h}{h^2-4h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2}{h-4}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$  

 

Zatem otrzymaliśmy:

$f{}^{\prime }\left(1\right)=-\frac{1}{2}$  

---

d)

D_f=R-{-1}, więc funkcja f jest określona w otoczeniu punktu -2. Niech h będzie dowolną liczbą rzeczywistą, różną od 0. Obliczamy:  

$f\left(h-2\right)=\frac{-3\left(h-2\right)}{h-2+1}=\frac{-3h+6}{h-1}$  

$f\left(-2\right)=\frac{-3\cdot \left(-2\right)}{-2+1}=\frac{6}{-1}=-6$  

 

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(h-2\right)-f\left(-2\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{-3h+6}{h-1}+6}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{-3h+6}{h-1}+\frac{6\left(h-1\right)}{h-1}}{h}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{-3h+6+6h-6}{h-1}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{3h}{h-1}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3h}{h^2-h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3}{h-1}=\frac{3}{-1}=-3$  

 

Zatem otrzymaliśmy:

$f{}^{\prime }\left(-2\right)=-3$  

---

e)

D_f=<-2,∞), więc funkcja f jest określona w otoczeniu punktu 1. Niech h będzie dowolną liczbą rzeczywistą, różną od 0. Obliczamy:  

$f\left(h+1\right)=\sqrt{3\left(h+1\right)+6}=\sqrt{3h+3+6}=\sqrt{3h+9}$  

$f\left(1\right)=\sqrt{3\cdot 1+6}=\sqrt{9}=3$  

 

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(h+1\right)-f\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{3h+9}-3}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{\sqrt{3h+9}-3}{h}\cdot \frac{\sqrt{3h+9}+3}{\sqrt{3h+9}+3}\right]=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{{\sqrt{3h+9}}^2-3^2}{h\left(\sqrt{3h+9}+3\right)}\right]=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3h+9-9}{h\left(\sqrt{3h+9}+3\right)}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3h}{h\left(\sqrt{3h+9}+3\right)}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3}{\sqrt{3h+9}+3}=\frac{3}{\sqrt{9}+3}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$  

 

Zatem otrzymaliśmy:

$f{}^{\prime }\left(1\right)=\frac{1}{2}$  

---

f)

D_f=(-∞, ¹/₅>, więc funkcja f jest określona w otoczeniu punktu -3. Niech h będzie dowolną liczbą rzeczywistą, różną od 0. Obliczamy:  

$f\left(h-3\right)=\sqrt{1-5\left(h-3\right)}=\sqrt{1-5h+15}=\sqrt{16-5h}$  

$f\left(-3\right)=\sqrt{1-5\cdot \left(-3\right)}=\sqrt{16}=4$  

 

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(h-3\right)-f\left(-3\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{16-5h}-4}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{\sqrt{16-5h}-4}{h}\cdot \frac{\sqrt{16-5h}+4}{\sqrt{16-5h}+4}\right]=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{{\sqrt{16-5h}}^2-4^2}{h\left(\sqrt{16-5h}+4\right)}\right]=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{16-5h-16}{h\left(\sqrt{16-5h}+4\right)}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-5h}{h\sqrt{16-5h}+4}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-5}{\sqrt{16-5h}+4}=\frac{-5}{\sqrt{16}+4}=\frac{-5}{8}$  

 

Zatem otrzymaliśmy:

$f{}^{\prime }\left(-3\right)=-\frac{5}{8}$