a)

$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{2x^2-5x-3}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-3\right)}{x-3}=$     

$=\underset{x\to 3}{\lim }\left(2x+1\right)=2\cdot 3+1=6+1=7$  

$f\left(3\right)=7$  

Zatem funkcja f jest ciągła w punkcie x=3.

 

Obliczenia:

$2x^2-5x-3=0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=25+24=49$  

$x_1=\frac{5-7}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$  

$x_2=\frac{5+7}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3$  

$2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-3\right)=0$  

---

b)

$\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{3x^3+7x^2+5x+1}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{3{\left(x+1\right)}^2\left(x+\frac{1}{3}\right)}{x+1}=$  

$=\underset{x\to -1}{\lim }\left(3\left(x+1\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\right)=3\cdot 0\cdot \left(-1+\frac{1}{3}\right)=0$  

$f\left(-1\right)=0$  

Zatem funkcja f jest ciągła w punkcie x=-1.

 

Obliczenia:

$3x^3+7x^2+5x+1=0$  

Zauważmy, że jednym z rozwiązań powyższego równania jest x=1, ponieważ:

$3\cdot {\left(-1\right)}^3+7\cdot {\left(-1\right)}^2+5\cdot \left(-1\right)+1=3\cdot \left(-1\right)+7\cdot 1-5+1=-3+7-5+1=0$  

$\left(x+1\right)\left(3x^2+4x+1\right)=0$  

$\Delta =4^2-4\cdot 3\cdot 1=16-12=4$  

$x_1=\frac{-4-2}{2\cdot 3}=\frac{-6}{6}=-1$  

$x_2=\frac{-4+2}{2\cdot 3}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$  

$\left(x+1\right)\cdot 3\left(x+1\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)=0$  

$3{\left(x+1\right)}^2\left(x+\frac{1}{3}\right)=0$  

---

c)

$\underset{x\to 5}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{2x^2-11x+5}{x^2-10x+25}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-5\right)}{{\left(x-5\right)}^2}=$  

$=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{2\left(x-\frac{1}{2}\right)}{x-5}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{2x-1}{x-5}$  

Obliczamy granice jednostronne.

$\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{x-5}=\frac{2\cdot 5-1}{5-5}=\frac{9}{0^{-}}=-\infty$  

$\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x-5}=\frac{2\cdot 5-1}{5-5}=\frac{9}{0^{+}}=+\infty$  

Zatem funkcja f nie jest ciągła w punkcie x=5.

 

Obliczenia:

$2x^2-11x+5=0$  

$\Delta ={\left(-11\right)}^2-4\cdot 2\cdot 5=121-40=81$  

$x_1=\frac{11-9}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$  

$x_2=\frac{11+9}{2\cdot 2}=\frac{20}{4}=5$  

$2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-5\right)=0$  

---

d)

$\underset{x\to -4}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -4}{\lim }\frac{x^2-x-20}{x^2+5x+4}=\underset{x\to -4}{\lim }\frac{\left(x+4\right)\left(x-5\right)}{\left(x+4\right)\left(x+1\right)}=$  

$=\underset{x\to -4}{\lim }\frac{x-5}{x+1}=\frac{-4-5}{-4+1}=\frac{-9}{-3}=3$  

$f\left(-4\right)=3$  

Zatem funkcja f jest ciągła w punkcie x=-4.

 

Obliczenia:

$x^2-x-20=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-20\right)=1+80=81$  

$x_1=\frac{1-9}{2}=\frac{-8}{2}=-4$  

$x_2=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5$  

$\left(x+4\right)\left(x-5\right)=0$  

 

$x^2+5x+4=0$  

$\Delta =5^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$  

$x_1=\frac{-5-3}{2}=\frac{-8}{2}=-4$  

$x_2=\frac{-5+3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$\left(x+4\right)\left(x+1\right)=0$  

---

e)

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{9+12x^2}-3}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{9+12x^2}-3}{x^2}\cdot \frac{\sqrt{9+12x^2}+3}{\sqrt{9+12x^2}+3}=$  

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sqrt{9+12x^2}}^2-3^2}{x^2\left(\sqrt{9+12x^2}+3\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{9+12x^2-9}{x^2\left(\sqrt{9+12x^2}+3\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{12x^2}{x^2\left(\sqrt{9+12x^2}+3\right)}=$  

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{12}{\sqrt{9+12x^2}+3}=\frac{12}{\sqrt{9+12\cdot 0^2}+3}=\frac{12}{3+3}=\frac{12}{6}=2$  

$f\left(0\right)=2$  

Zatem funkcja f jest ciągła w punkcie x=0.

---

f)

$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{12+4x^2}-4}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{12+4x^2}-4}{x-1}\cdot \frac{\sqrt{12+4x^2}+4}{\sqrt{12+4x^2}+4}=$  

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{{\sqrt{12+4x^2}}^2-4^2}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{12+4x^2}+4\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{12+4x^2-16}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{12+4x^2}+4\right)}=$  

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4x^2-4}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{12+4x^2}+4\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4\left(x^2-1\right)}{\left(x-1\right)\sqrt{12+4x^2}+4}=$  

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{12+4x^2}+4\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4\left(x+1\right)}{\sqrt{12+4x^2}+4}=\frac{4\cdot \left(1+1\right)}{\sqrt{12+4\cdot 1^2}+4}=$  

$=\frac{4\cdot 2}{\sqrt{12+4}+4}=\frac{8}{\sqrt{16}+4}=\frac{8}{4+4}=\frac{8}{8}=1$  

$f\left(1\right)=1$  

Zatem funkcja f jest ciągła w punkcie x=1.