Rysunek pomocniczy:

Oznaczmy:

$\left|AB\right|=\left|BC\right|=\left|AC\right|=a$  

$\left|AD\right|=\left|BD\right|=\left|CD\right|=b$  

Zauważmy, że ED' to promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości a, zatem:

$\left|ED{}^{\prime }\right|=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

 

Z funkcji trygonometrycznych w trójkącie EGS mamy:

$\frac{\frac{2}{3}\cdot \left|EC\right|}{\left|ES\right|}=\cos {45}^{\circ }$  

$\frac{2\cdot \left|ED{}^{\prime }\right|}{\left|ES\right|}=\cos {45}^{\circ }$  

$\frac{2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}}{\left|ES\right|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$4\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}=\left|ES\right|\cdot \sqrt{2}\mid :\sqrt{2}$  

$\frac{2a\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}=\left|ES\right|$  

$\frac{2a\sqrt{6}}{6}=\left|ES\right|$  

$\frac{a\sqrt{6}}{3}=\left|ES\right|$  

 

Z funkcji trygonometrycznych w trójkącie AES mamy:

$\frac{\left|AE\right|}{\left|ES\right|}=\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}$  

$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{\sqrt{6}}{3}a}=\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}$  

$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}$  

$\frac{3\sqrt{6}}{12}=\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}$  

$\frac{\sqrt{6}}{4}\cos \frac{\alpha }{2}=\sin \frac{\alpha }{2}$  

Z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy:

${\sin }^2\frac{\alpha }{2}+{\cos }^2\frac{\alpha }{2}=1$  

$\frac{6}{16}{\cos }^2\frac{\alpha }{2}+{\cos }^2\frac{\alpha }{2}=1$  

$\frac{22}{16}{\cos }^2\frac{\alpha }{2}=1$  

${\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{16}{22}$  

${\sin }^2\alpha 2=1-\frac{16}{22}$  

${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{6}{22}$  

${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{3}{11}$  

 

Korzystamy ze wzoru:

$\cos \alpha =1-2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$  

$\cos \alpha =1-2\cdot \frac{3}{11}$  

$\cos \alpha =1-\frac{6}{11}$  

$\cos \alpha =\frac{5}{11}$