Rysunek pomocniczy:

   

Zauważmy, że:

$h_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

Z funkcji trygonometrycznych otrzymujemy:

$\frac{h_p}{6}=\sin {30}^{\circ }$  

$\frac{h_p}{6}=\frac{1}{2}$  

$h_p=3$  

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=3$  

$a\sqrt{3}=6$  

$a=\frac{6}{\sqrt{3}}$  

$a=\frac{6\sqrt{3}}{3}$  

$a=2\sqrt{3}$  

 

Zatem:

$h_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

$h_p=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}$  

$h_p=3$  

 

$\frac{h_p}{b}=\mathrm{tg}{30}^{\circ }$  

$\frac{3}{b}=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

$3\cdot 3=\sqrt{3}b$  

$9=\sqrt{3}b\mid :\sqrt{3}$  

$b=\frac{9}{\sqrt{3}}$  

$b=\frac{9\sqrt{3}}{3}$  

$b=3\sqrt{3}$  

 

Korzystając z funkcji trygonometrycznych otrzymujemy:

$H^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=b^2$  

$H^2+{\sqrt{3}}^2={\left(3\sqrt{3}\right)}^2$  

$H^2+3=27$  

$H^2=24$  

$H=\sqrt{24}$  

$H=2\sqrt{6}$  

 

Obliczmy objętość tego graniastosłupa:

$V=P_p\cdot h$  

$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$  

$V=\frac{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}\cdot 2\sqrt{6}$  

$V=\frac{12\sqrt{3}}{4}\cdot 2\sqrt{6}$  

$V=3\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}$  

$V=6\sqrt{18}$  

$V=6\sqrt{9\cdot 2}$  

$V=6\cdot 3\sqrt{2}$  

$V=18\sqrt{2}\left[{\text{cm}}^3\right]$