a)

$4^{3x}-7\cdot 4^{2x}+14\cdot 4^x-8=0$  

${\left(4^x\right)}^3-7\cdot {\left(4^x\right)}^2+14\cdot 4^x-8=0$  

Podstawiając  $4^x=t,t>0$  otrzymujemy:  

$t^3-7t^2+14t-8=0$  

Zauważmy, że t=1 jest jednym z rozwiązań powyższego równania.

$\left(t-1\right)\left(t^2-6t+8\right)=0$  

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$  

$t_1=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2$  

$t_2=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Zatem otrzymujemy:

$\left(t-1\right)\left(t-2\right)\left(t-4\right)=0$  

$t-1=0\vee t-2=0\vee t-4=0$  

$t=1\vee t=2\vee t=4$  

$4^x=1\vee 4^x=2\vee 4^x=4$  

$4^x=4^0\vee {\left(2^2\right)}^x=2^1\vee 4^x=4^1$  

$x=0\vee 2x=1\vee x=1$  

$x=0\vee x=\frac{1}{2}\vee x=1$  

---

b)

$2^{3x}-2^{2x+3}-2^{x+4}+128=0$  

${\left(2^x\right)}^3-{\left(2^x\right)}^2\cdot 2^3-2^x\cdot 2^4+128=0$  

${\left(2^x\right)}^3-{\left(2^x\right)}^2\cdot 8-2^x\cdot 16+128=0$  

Podstawiając  $2^x=t,t>0$  otrzymujemy:

$t^3-8t^2-16t+128=0$  

Zauważmy, że t=4 jest jednym z rozwiązań powyższego równania.

$\left(t-4\right)\left(t^2-4t-32\right)=0$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-32\right)=16+128=144$  

$t_1=\frac{4-12}{2}=\frac{-8}{2}=-4$  

$t_2=\frac{4+12}{2}=\frac{16}{2}=8$  

Zatem otrzymujemy:

$\left(t-4\right)\left(t+4\right)\left(t-8\right)=0$  

$t-4=0\vee t+4=0\vee t-8=0$  

$t=4\vee t=-4\text{sprzecznosˊcˊ}\vee t=8$  

$2^x=4\vee 2^x=8$  

$2^x=2^2\vee 2^x=2^3$  

$x=2\vee x=3$   

---

c)

$9^{3x}-9^{2x+\frac{1}{2}}-3^{2x}+3=0$  

${\left(3^2\right)}^{3x}-{\left(3^2\right)}^{2x+\frac{1}{2}}-3^{2x}+3=0$  

$3^{6x}-3^{4x+1}-3^{2x}+3=0$  

${\left(3^{2x}\right)}^3-{\left(3^{2x}\right)}^2\cdot 3^1-3^{2x}+3=0$  

Podstawiając  $3^{2x}=t,t>0$  otrzymujemy:

$t^3-3t^2-t+3=0$  

$t\left(t^2-1\right)-3\left(t^2-1\right)=0$  

$\left(t-3\right)\left(t^2-1\right)=0$  

$\left(t-3\right)\left(t-1\right)\left(t+1\right)=0$  

$t-3=0\vee t-1=0\vee t+1=0$  

$t=3\vee t=1\vee t=-1\text{sprzecznosˊcˊ}$  

$3^{2x}=3\vee 3^{2x}=1$  

$3^{2x}=3^1\vee 3^{2x}=3^0$  

$2x=1\vee 2x=0$  

$x=\frac{1}{2}\vee x=0$  

---

d)

$5^{3x}-7\cdot 5^{1+2x}+11\cdot 5^{2+x}-625=0$  

${\left(5^x\right)}^3-7\cdot 5^1\cdot 5^{2x}+11\cdot 5^2\cdot 5^x-625=0$  

${\left(5^x\right)}^3-35\cdot {\left(5^x\right)}^2+275\cdot 5^x-625=0$  

Podstawiając  $5^x=t,t>0$  otrzymujemy:

$t^3-35t^2+275t-625=0$  

Zauważmy, że t=5 jest jednym z rozwiązań powyższego równania.

$\left(t-5\right)\left(t^2-30t+125\right)=0$  

$\Delta ={\left(-30\right)}^2-4\cdot 1\cdot 125=900-500=400$  

$t_1=\frac{30-20}{2}=\frac{10}{2}=5$  

$t_2=\frac{30+20}{2}=\frac{50}{2}=25$  

Zatem otrzymujemy:

$\left(t-5\right)\left(t-5\right)\left(t-25\right)=0$  

$t-5=0\vee t-25=0$  

$t=5\vee t=25$  

$5^x=5\vee 5^x=25$  

$x=1\vee x=2$