a)

Obliczmy a wiedząc,m że do wykresu tej funkcji należy punkt $A\left(-\frac{1}{2},2\right)$  . 

$2=a^{-\frac{1}{2}}$  

$2^2={\left(a^{-\frac{1}{2}}\right)}^2$  

$4=a^{-1}$  

$4=\frac{1}{a}\mid \cdot a$  

$4a=1\mid :4$  

$a=\frac{1}{4}$  

Zatem otrzymujemy:

$y={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$  

 

b)

$g\left(x\right)={\left(\frac{1}{4}\right)}^{-\frac{1}{2}x}-2$  

$g\left(x\right)={\left({\left(\frac{1}{4}\right)}^{-\frac{1}{2}}\right)}^x-2$  

$g\left(x\right)={\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^x-2$  

$g\left(x\right)=2^x-2$  

 

c)

Obliczmy miejsce zerowe funkcji g.

$0=2^x-2\mid +2$  

$2=2^x$  

$2^1=2^x$  

$1=x$  

Odczytajmy z wykresu dla jakich argumentów funkcja g przyjmuje wartości nieujemne.

$x\in ⟨1,+\infty )$  

 

d)

Sprawdźmy czy do wykresu funkcji g należy punkt C.

$g\left(x\right)=2^x-2$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}-2=2^{-\frac{1}{2}}-2\mid +2$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}=2^{-\frac{1}{2}}$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}}$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Zatem punkt C należy do wykresu funkcji g.