x - ilość żarówek wadliwych (x jest liczbą naturalną dodatnią)

20-x - ilość dobrych żarówek

20 - ilość wszystkich żarówek

Ilość wszystkich możliwości wylosowania dwóch żarówek (bez zwracania).:

$\overline{\overline{\Omega }}=\left(\begin{array}{c}20\\ 2\end{array}\right)=\frac{20!}{2!\cdot 18!}=\frac{18!\cdot 19\cdot 20}{2\cdot 18!}=19\cdot 10=190$  

 

A - wylosowano jedną żarówkę dobrą i jedną wadliwą

$\overline{\overline{A}}=x\cdot \left(20-x\right)=20x-x^2$  

$P\left(A\right)=\frac{20x-x^2}{190}$  

Z treści zadania otrzymujemy:

$\frac{20x-x^2}{190}>0,1$  

$\frac{20x-x^2}{190}>\frac{1}{10}$  

$10\cdot \left(20x-x^2\right)>190\mid :10$  

$20x-x^2>19\mid -19$  

$-x^2+20x-19>0\mid :\left(-1\right)$  

$x^2-20x+19<0$  

$\Delta ={\left(-20\right)}^2-4\cdot 1\cdot 19=400-76=324$  

$\sqrt{\Delta }=18$  

$x_1=\frac{20-18}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$x_2=\frac{20+18}{2}=\frac{38}{2}=19$  

$\left(x-1\right)\left(x-19\right)<0$  

$x\in \left(1,19\right)$  

$x\in \left\{2,3,4,5,\dots ,18\right\}$  

 

Ilość dobrych żarówek:

$20-x\in \left\{2,3,4,5,\dots ,18\right\}$  

 

Odp. W tym kartonie znajduje się co najwyżej 18 dobrych żarówek.