a)

Liczby dwucyfrowe to liczby od $10$ do $99$.

Spróbujmy je wypisać:

$\underset{10\text{liczb}}{\underbrace{10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}}$

$20,21,22,23,24,25,26,27,28,29$

$30,\dots ,39$

$40,\dots ,49$

$50,\dots ,59$

$60,\dots ,69$

$70,\dots ,79$

$80,\dots ,89$

$90,\dots ,99$

Mamy dziewięć dziesiątek.

A więc liczba liczb dwucyfrowych jest równa:

$9\cdot 10=\boxed{90}$  

---

b)

Z podpunktu a) wiemy, że wszystkich liczb dwucyfrowych jest $90$.

Cyfra $0$ występuje tylko w pełnych dziesiątkach, czyli w liczbach:

$10,20,30,40,50,60,70,80,90$

Mamy więc $9$ liczb dwucyfrowych, w których występuje cyfra $0$.

Zatem liczb dwucyfrowych, w których nie występuje cyfra $0$, jest:

$90-9=\boxed{81}$

---

c)

Z podpunktu a) wiemy, że wszystkich liczb dwucyfrowych jest $90$.

Wypiszmy liczby dwucyfrowe, w których zapisie występuje $0$ lub $1$:

$\underset{10\text{liczb}}{\underbrace{10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}}$

$\underset{2\text{liczby}}{\underbrace{20,21}}$

$30,31$

$40,41$

$50,51$

$60,61$

$70,71$

$80,81$

$90,91$

Takich liczb mamy $26$ (bo $10+8\cdot 2$).

Obliczmy więc, ile jest liczb dwucyfrowych bez cyfr $0$ i $1$ w zapisie:

$90-26=\boxed{64}$  

---

d)

Z podpunktu a) wiemy, że wszystkich liczb dwucyfrowych jest $90$.

Wypiszmy liczby dwucyfrowe, w których występuje cyfra $8$ lub $9$:

$\underset{2\text{liczby}}{\underbrace{18,19}}$

$28,29$

$38,39$

$48,49$

$58,59$

$68,69$

$78,79$

$\underset{10\text{liczb}}{\underbrace{80,81,82,83,84,85,86,87,88,89}}$

$90,91,92,93,94,95,96,97,98,99$

Takich liczb jest $34$ (bo $7\cdot 2+2\cdot 10$).

Zatem liczb dwucyfrowych, w których zapisie nie występują cyfry $8$ oraz $9$, jest:

$90-34=\boxed{56}$