a) Założenie:

$\sqrt{3}-$  liczba niewymierna

$1-$  liczba wymierna

Teza:

$\sqrt{3}+1-$  liczba niewymierna

Dowód (nie wprost):

Zaprzeczmy tezie, czyli przypuśćmy, że liczba √3+1 jest wymierna. Z definicji liczby wymiernej można ją przedstawić w postaci:

$\sqrt{3}+1=\frac{m}{n},$  

gdzie m ∈ Z, n ∈ Z\{0,1}.

Przenosimy liczbę 1 na prawą stronę równania.

$\sqrt{3}=\frac{m}{n}-1$  

Liczba po lewej stronie równania jest liczbą niewymierną. Liczba po prawej stronie równania jest różnicą liczb wymiernych, czyli liczbą wymierną. Otrzymaliśmy więc, że liczba wymierna jest równa liczbie niewymiernej, czyli sprzeczność. Wynika stąd, że prawdziwe jest zdanie "liczba √3+1 jest niewymierna".

---

b) Założenie:

$\pi -$  liczba niewymierna

$-2-$  liczba wymierna

Teza:

$\pi -2-$  liczba niewymierna

Dowód (nie wprost):

Zaprzeczmy tezie, czyli przypuśćmy, że liczba π-2 jest wymierna. Z definicji liczby wymiernej można ją przedstawić w postaci:

$\pi -2=\frac{m}{n},$  

gdzie m ∈ Z, n ∈ Z\{0,1}.

Przenosimy liczbę -2 na prawą stronę równania.

$\pi =\frac{m}{n}+2$  

Liczba po lewej stronie równania jest liczbą niewymierną. Liczba po prawej stronie równania jest sumą liczb wymiernych, czyli liczbą wymierną. Otrzymaliśmy więc, że liczba wymierna jest równa liczbie niewymiernej, czyli sprzeczność. Wynika stąd, że prawdziwe jest zdanie "liczba π-2 jest niewymierna".