Trzy kolejne liczby naturalne możemy zapisać w następujący sposób

$n,n+1,n+2,n\in \mathbb{N}$  

Wtedy

•  n² - kwadrat liczby n,
• (n+1)² - kwadrat liczby n+1,
• (n+2)² - kwadrat liczby n+2.

Z treści zadania wiemy, że suma kwadratów tych trzech liczb jest równa 509, zatem

$n^2+{\left(n+1\right)}^2+{\left(n+2\right)}^2=509$

korzystając ze wzoru skróconego mnożenia (na kwadrat sumy) dostajemy

$n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=509$

$3n^2+6n+5=509\mid -509$

$3n^2+6n-504=0\mid :3$

$n^2+2n-168=0$

Obliczmy wyróżnik △

$\Delta =b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot \left(-168\right)=4+672=676$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{676}=26$  

równanie ma dwa rozwiązania

$n_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2-26}{2}=\frac{-28}{2}=-14\notin \mathbb{N}$

$n_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2+26}{2}=\frac{24}{2}=12\in \mathbb{N}$  

więc

$n=12$

$n+1=13$

$n+2=14$    

Zatem szukane liczby to

$12,13,14$