a)

Rozwiążemy równanie

$-\frac{1}{2}{x}^2+3x=0$

wyłączamy wspólny czynnik x poza nawias, otrzymujemy

$x\left(-\frac{1}{2}x+3\right)=0$

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, gdy co najmniej jedna z nich jest równa 0. 

Zatem dostajemy, że

$x=0\text{lub}-\frac{1}{2}x+3=0$

$x=0\text{lub}-\frac{1}{2}x=-3$   

$x=0\text{lub}x=6$  

czyli dane równanie ma dwa rozwiązania

$x_1=0,x_2=6$  

---

b)

Rozwiążemy równanie

$3x^2-5x=x^2-x\mid -x^2+x$

$2x^2-4x=0\mid :2$

$x^2-2x=0$   

wyłączamy wspólny czynnik x poza nawias, otrzymujemy

$x\left(x-2\right)=0$

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, gdy co najmniej jedna z nich jest równa 0. 

Zatem dostajemy, że

$x=0\text{lub}x-2=0$

$x=0\text{lub}x=2$   

czyli dane równanie ma dwa rozwiązania

$x_1=0,x_2=2$  

---

c)

Rozwiążemy równanie

${\left(x-2\right)}^2=4$

obie strony równania są nieujemne, po spierwiastkowaniu równania stronami dostajemy

$\sqrt{x-2}=\sqrt{4}$

$\left|x-2\right|=2$

stąd dostajemy, że  

$x-2=2\text{lub}x-2=-2$

$x=4\text{lub}x=0$   

czyli dane równanie ma dwa rozwiązania

$x_1=0,x_2=4$  

---

d)

Rozwiążemy równanie

$\frac{1}{2}{x}^2+x=\frac{1}{2}x+x^2\mid -\frac{1}{2}x-x^2$

$-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x=0\mid :\left(\frac{1}{2}\right)$

$-x^2+x=0$     

wyłączamy wspólny czynnik x poza nawias, otrzymujemy

$x\left(-x+1\right)=0$

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, gdy co najmniej jedna z nich jest równa 0. 

Zatem dostajemy, że

$x=0\text{lub}-x+1=0$

$x=0\text{lub}x=1$   

czyli dane równanie ma dwa rozwiązania

$x_1=0,x_2=1$