Oblicz...- Zadanie 5.27: Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

$a) (5 - 7 + 5 + 7)^{2} = (5 - 7)^{2} + 2 \cdot 5 - 7 \cdot 5 + 7 + (5 + 7)^{2} = 5 - 7 + 2 \cdot (5 - 7) (5 + 7) + 5 + 7 = 10 + 2 25 - 7 = 10 + 218 = 10 + 2 9 \cdot 2 = 10 + 2 \cdot 32 = 10 + 62$

$b) (57 - 402 - 57 + 402)^{2} = (57 - 402)^{2} - 2 \cdot 57 - 402 \cdot 57 + 402 + (57 + 402)^{2} = 57 - 402 - 2 \cdot (57 - 402) (57 + 402) + 57 + 402 = 114 - 2 57^{2} - (402)^{2} = 114 - 2 3249 - 1600 \cdot 2 = 114 - 2 3249 - 3200 = 114 - 249 = 114 - 2 \cdot 7 = 114 - 14 = 100$

$c) \frac{2 ^{2} - 1}{2 + 1} + \frac{3 ^{2} - 2 ^{2}}{3 + 2} + \frac{4 ^{2} - 3 ^{2}}{4 + 3} + \frac{5 ^{2} - 4 ^{2}}{5 + 4} + \dots + \frac{100 ^{2} - 99 ^{2}}{100 + 99} = \frac{( 2 - 1 ) ( 2 + 1 )}{2 + 1} + \frac{( 3 - 2 ) ( 3 + 2 )}{3 + 2} + \frac{( 4 - 3 ) ( 4 + 3 )}{4 + 3} + \frac{( 5 - 4 ) ( 5 + 4 )}{5 + 4} + \dots + \frac{( 100 - 99 ) ( 100 + 99 )}{100 + 99} = 2 - 1 + 3 - 2 + 4 - 3 + 5 - 4 + \dots + 100 - 99 = - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 + 4 - 4 + 5 - \dots - 99 + 100 = - 1 + 100 = 99$