$\text{a)}$  Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  $A$  i  $B.$   

Wstawiamy do równania prostej  $y=ax+b$  współrzędne punktu  $A.$  Otrzymujemy:

$2=a+b$  

Wstawiamy do równania prostej  $y=ax+b$  współrzędne punktu  $B.$  Otrzymujemy:

$6=3a+b$  

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  $a,b.$  

$\{\begin{array}{l}a+b=2\\ 3a+b=6\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a+b=2\\ -3a-b=-6\end{array}$

Dodajemy równania stronami i dopisujemy jedno równanie z pierwszego układu.

$\{\begin{array}{l}-2a=-4\mid :\left(-2\right)\\ a+b=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=2\\ a+b=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=2\\ 2+b=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=2\\ b=0\end{array}$  

Zatem prosta przechodząca przez punkty  $A$  i  $B$   dana jest wzorem:

$f\left(x\right)=2x$  

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  $y,$  by punkty  $A,B,C$  były współliniowe.

$y=f\left(-1\right)=2\cdot \left(-1\right)=-2$  

Odp.  $y=-2.$  

---

$\text{b)}$  Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  $A$  i  $C.$   

Wstawiamy do równania prostej  $y=ax+b$  współrzędne punktu  $A.$  Otrzymujemy:

$-1=2a+b$  

Wstawiamy do równania prostej  $y=ax+b$  współrzędne punktu  $C.$  Otrzymujemy:

$2=-4a+b$  

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  $a,b.$  

$\{\begin{array}{l}2a+b=-1\\ -4a+b=2\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2a+b=-1\\ 4a-b=-2\end{array}$

Dodajemy równania stronami i dopisujemy jedno równanie z pierwszego układu.

$\{\begin{array}{l}6a=-3\mid :6\\ 2a+b=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ 2a+b=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ -1+b=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=0\end{array}$  

Zatem prosta przechodząca przez punkty  $A$  i  $C$   dana jest wzorem:

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x$  

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  $y,$  by punkty  $A,B,C$  były współliniowe.

$-\frac{3}{2}=f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x$  

$-\frac{1}{2}x=-\frac{3}{2}\mid \cdot \left(-2\right)$  

$x=3$  

Odp.  $x=3.$  

---

$\text{c)}$  Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  $B$  i  $C.$   

Wstawiamy do równania prostej  $y=ax+b$  współrzędne punktu  $B.$  Otrzymujemy:

$2=5a+b$

Wstawiamy do równania prostej  $y=ax+b$  współrzędne punktu  $C.$  Otrzymujemy:

$-7=-4a+b$  

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  $a,b.$  

$\{\begin{array}{l}5a+b=2\\ -4a+b=-7\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}5a+b=2\\ 4a-b=7\end{array}$

Dodajemy równania stronami i dopisujemy jedno równanie z pierwszego układu.

$\{\begin{array}{l}9a=9\mid :9\\ 5a+b=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=1\\ 5a+b=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=1\\ 5+b=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-3\end{array}$  

Zatem prosta przechodząca przez punkty  $B$  i  $C$   dana jest wzorem:

$f\left(x\right)=x-3$

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  $y,$  by punkty  $A,B,C$  były współliniowe.

$-3=f\left(x\right)=x-3$

$x-3=-3|+3$

$x=0$

Odp.  $x=0$.

---

$\text{d)}$  Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  $A$  i  $B.$   

Wstawiamy do równania prostej  $y=ax+b$  współrzędne punktu  $A.$  Otrzymujemy:

$-7=-3a+b$  

Wstawiamy do równania prostej  $y=ax+b$  współrzędne punktu  $B.$  Otrzymujemy:

$1=a+b$  

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  $a,b.$  

$\{\begin{array}{l}-3a+b=-7\\ a+b=1\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-3a+b=-7\\ -a-b=-1\end{array}$

Dodajemy równania stronami i dopisujemy jedno równanie z pierwszego układu.

$\{\begin{array}{l}-4a=-8\mid :\left(-4\right)\\ a+b=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=2\\ a+b=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=2\\ 2+b=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-1\end{array}$  

Zatem prosta przechodząca przez punkty  $A$  i  $B$   dana jest wzorem:

$f\left(x\right)=2x-1$  

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  $y,$  by punkty  $A,B,C$  były współliniowe.

$y=f\left(-0\right)=2\cdot 0-1=-1$  

Odp.  $y=-1.$     

---

$\text{e)}$  Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  $A$  i  $C.$   

Wstawiamy do równania prostej  $y=ax+b$  współrzędne punktu  $A.$  Otrzymujemy:

$1\frac{1}{3}=a+b$  

$1\frac{1}{3}-a=b$  

Wstawiamy do równania prostej  $y=ax+b$  współrzędne punktu  $C.$  Otrzymujemy:

$4=-3a+b$  

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  $a,b.$  

$\{\begin{array}{l}1\frac{1}{3}-a=b\\ -3a+b=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}1\frac{1}{3}-a=b\\ -3a+1\frac{1}{3}-a=4\mid -1\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}1\frac{1}{3}-a=b\\ -4a=2\frac{2}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}1\frac{1}{3}-a=b\\ -4a=\frac{8}{3}\mid :\left(-4\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}1\frac{1}{3}-a=b\\ a=-\frac{2}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}1\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=b\\ a=-\frac{2}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2=b\\ a=-\frac{2}{3}\end{array}$  

Zatem prosta przechodząca przez punkty  $A$  i  $C$   dana jest wzorem:

$f\left(x\right)=-\frac{2}{3}x+2$  

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  $y,$  by punkty  $A,B,C$  były współliniowe.

$-2=f\left(x\right)$  

$-2=-\frac{2}{3}x+2\mid -2$  

$-4=-\frac{2}{3}x\mid :\left(-\frac{2}{3}\right)$  

$-4\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=x$  

$6=x$  

Odp.  $x=6.$  

---

$\text{f)}$  Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  $B$  i  $C.$   

Wstawiamy do równania prostej  $y=ax+b$  współrzędne punktu  $B.$  Otrzymujemy:

$-\sqrt{5}=-a+b$  

$-\sqrt{5}+a=b$  

Wstawiamy do równania prostej  $y=ax+b$  współrzędne punktu  $C.$  Otrzymujemy:

$3-\sqrt{5}=2a+b$  

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  $a,b.$  

$\{\begin{array}{l}-\sqrt{5}+a=b\\ 2a+b=3-\sqrt{5}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-\sqrt{5}+a=b\\ 2a-\sqrt{5}+a=3-\sqrt{5}\mid +\sqrt{5}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-\sqrt{5}+a=b\\ 3a=3\mid :3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-\sqrt{5}+a=b\\ a=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-\sqrt{5}+1=b\\ a=1\end{array}$  

Zatem prosta przechodząca przez punkty  $B$  i  $C$   dana jest wzorem:

$f\left(x\right)=x-\sqrt{5}+1$  

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  $y,$  by punkty  $A,B,C$  były współliniowe.

$f\left(\sqrt{5}\right)=y$  

$\sqrt{5}-\sqrt{5}+1=y$  

$1=y$  

Odp.  $y=1.$