Lewą stronę równości podnosimy do kwadratu.

${\left(\sqrt{6\sqrt{2}+9}+\sqrt{9-6\sqrt{2}}\right)}^2=$   

$={\left(\sqrt{6\sqrt{2}+9}\right)}^2+2\cdot {\left(\sqrt{6\sqrt{2}+9}\cdot \sqrt{9-6\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\sqrt{9-6\sqrt{2}}\right)}^2{)}^2=$  

$=6\sqrt{2}+9+2\sqrt{\left(6\sqrt{2}+9\right)\cdot \left(9-6\sqrt{2}\right)}+9-6\sqrt{2}=$  

$=18+2\sqrt{\left(9+6\sqrt{2}\right)\cdot \left(9-6\sqrt{2}\right)}=18+2\sqrt{9^2-{\left(6\sqrt{2}\right)}^2}=$  

$=18+2\sqrt{81-72}=18+2\sqrt{9}=18+2\cdot 3=18+6=24$  

Prawą stronę równości podnosimy do kwadratu.

${\left(2\sqrt{6}\right)}^2=24$  

Zatem:

$\sqrt{6\sqrt{2}+9}+\sqrt{9-6\sqrt{2}}=2\sqrt{6}$