Rozwiąż nierówność.- Zadanie 7.17: Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Z definicji wartości bezwzględnej:

$∣ x + 1 ∣ = {x + 1 dla x + 1 \geq 0 - (x + 1) dla x + 1 < 0$

$∣ x + 1 ∣ = {x + 1 dla x \geq - 1 - x - 1 dla x < - 1$

Rozważamy więc dwa przypadki:

$x \in (- \infty, - 1)$

$2 ∣ x + 1 ∣ - 3 \leq 2 x - 1$

$2 (- x - 1) - 3 \leq 2 x - 1$

$- 2 x - 2 - 3 \leq 2 x - 1$

$- 4 x \leq 4 ∣ : (- 4)$

$x \geq - 1$

$x \in ⟨ - 1, + \infty)$

Otrzymany zbiór rozwiązań jest rozłączny z przedziałem, w którym rozwiązywaliśmy nierówność, więc w rozważanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.

$x \in ⟨ - 1, + \infty)$

$2 ∣ x + 1 ∣ - 3 \leq 2 x - 1$

$2 (x + 1) - 3 \leq 2 x - 1$

$2 x + 2 - 3 \leq 2 x - 1$

$- 1 \leq - 1$

Otrzymaliśmy nierówność tożsamościową. Oznacza to, że rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba z rozważanego przedziału:

$x \in ⟨ - 1, + \infty)$

Łącząc oba przypadki, otrzymujemy następujący zbiór rozwiązań:

$x \in ⟨ - 1, + \infty)$

b) Z definicji wartości bezwzględnej:

$∣ 2 x - 5 ∣ = {2 x - 5 dla 2 x - 5 \geq 0 - (2 x - 5) dla 2 x - 5 < 0$

$∣ 2 x - 5 ∣ = {2 x - 5 dla x \geq \frac{5}{2} - 2 x + 5 dla x < \frac{5}{2}$

Rozważamy więc dwa przypadki:

$x \in (- \infty, 2 \frac{1}{2})$

$\frac{1}{2} ∣ 2 x - 5 ∣ + 1 > 3 x$

$\frac{1}{2} (- 2 x + 5) + 1 > 3 x$

$- x + \frac{5}{2} + 1 > 3 x$

$- 4 x + \frac{7}{2} > 0$

$- 4 x > - \frac{7}{2} ∣ : (- 4)$

$x < \frac{7}{8}$

$x \in (- \infty, \frac{7}{8})$

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

$x \in (- \infty, 2 \frac{1}{2}) i x \in (- \infty, \frac{7}{8})$

$x \in (- \infty, \frac{7}{8})$

$x \in ⟨ 2 \frac{1}{2}, + \infty)$

$\frac{1}{2} ∣ 2 x - 5 ∣ + 1 > 3 x$

$\frac{1}{2} (2 x - 5) + 1 > 3 x$

$x - \frac{5}{2} + 1 > 3 x ∣ \cdot 2$

$2 x - 5 + 2 > 6 x$

$2 x - 3 > 6 x$

$- 4 x > 3 ∣ : (- 4)$

$x < - \frac{3}{4}$

$x \in (- \infty, - \frac{3}{4})$

Otrzymany zbiór rozwiązań jest rozłączny z przedziałem, w którym rozwiązywaliśmy nierówność, więc w rozważanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.

Łącząc oba przypadki, otrzymujemy następujący zbiór rozwiązań:

$x \in (- \infty, \frac{7}{8})$

c) Z definicji wartości bezwzględnej:

$∣ x + 3 ∣ = {x + 3 dla x + 3 \geq 0 - (x + 3) dla x + 3 < 0$

$∣ x + 3 ∣ = {x + 3 dla x \geq - 3 - x - 3 dla x < - 3$

Rozważamy więc dwa przypadki:

$x \in (- \infty, - 3)$

$∣ x + 3 ∣ \geq \frac{1}{5} x + 3$

$- x - 3 \geq \frac{1}{5} x + 3$

$- x - 3 \geq \frac{1}{5} x + 3 ∣ \cdot 5$

$- 5 x - 15 \geq x + 15$

$- 6 x \geq 30 ∣ : (- 6)$

$x \leq - 5$

$x \in (- \infty, - 5 ⟩$

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

$x \in (- \infty, - 3) i x \in (- \infty, - 5 ⟩$

$x \in (- \infty, - 5 ⟩$

$x \in ⟨ - 3, + \infty)$

$∣ x + 3 ∣ \geq \frac{1}{5} x + 3$

$x + 3 \geq \frac{1}{5} x + 3$

$\frac{4}{5} x \geq 0 ∣ \cdot \frac{5}{4}$

$x \geq 0$

$x \in ⟨ 0, + \infty)$

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

$x \in ⟨ - 3, + \infty) i x \in ⟨ 0, + \infty)$

$x \in ⟨ 0, + \infty)$

Łącząc oba przypadki, otrzymujemy następujący zbiór rozwiązań:

$x \in (- \infty, - 5 ⟩ lub x \in ⟨ 0, + \infty)$

$x \in (- \infty, - 5 ⟩ \cup ⟨ 0, + \infty)$

d) Z definicji wartości bezwzględnej:

$∣ 3 - x ∣ = ∣ x - 3 ∣ = {x - 3 dla x - 3 \geq 0 - (x - 3) dla x - 3 < 0$

$∣ x - 3 ∣ = {x - 3 dla x \geq 3 - x + 3 dla x < 3$

Rozważamy więc dwa przypadki:

$x \in (- \infty, 3)$

$2 ∣ 3 - x ∣ + 3 x - 7 < 1$

$2 ∣ x - 3 ∣ + 3 x - 7 < 1$

$2 (- x + 3) + 3 x - 7 < 1$

$- 2 x + 6 + 3 x - 7 < 1$

$x - 1 < 1$

$x < 2$

$x \in (- \infty, 2)$

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

$x \in (- \infty, 3) i x \in (- \infty, 2)$

$x \in (- \infty, 2)$

$x \in ⟨ 3, + \infty)$

$2 ∣ 3 - x ∣ + 3 x - 7 < 1$

$2 ∣ x - 3 ∣ + 3 x - 7 < 1$

$2 (x - 3) + 3 x - 7 < 1$

$2 x - 6 + 3 x - 7 < 1$

$5 x - 13 < 1$

$5 x < 14 ∣ : 5$

$x < \frac{14}{5}$

$x < 2 \frac{4}{5}$

$x \in (- \infty, 2 \frac{4}{5})$

Otrzymany zbiór rozwiązań jest rozłączny z przedziałem, w którym rozwiązywaliśmy nierówność, więc w rozważanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.

Łącząc oba przypadki, otrzymujemy następujący zbiór rozwiązań:

$x \in (- \infty, 2)$

e) Z definicji wartości bezwzględnej:

$∣ 2 x - 7 ∣ = {2 x - 7 dla 2 x - 7 \geq 0 - (2 x - 7) dla 2 x - 7 < 0$

$∣ 2 x - 7 ∣ = {2 x - 7 dla \geq \frac{7}{2} - 2 x + 7 dla x < \frac{7}{2}$

Rozważamy więc dwa przypadki:

$x \in (- \infty, 3 \frac{1}{2})$

$5 - ∣ 2 x - 7 ∣ \geq \frac{1}{2} x - 3$

$5 - (- 2 x + 7) \geq \frac{1}{2} x - 3$

$5 + 2 x - 7 \geq \frac{1}{2} x - 3$

$2 x - 2 \geq \frac{1}{2} x - 3 ∣ \cdot 2$

$4 x - 4 \geq x - 6$

$3 x \geq - 2 ∣ : 3$

$x \geq - \frac{2}{3}$

$x \in ⟨ - \frac{2}{3}, + \infty)$

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

$x \in (- \infty, 3 \frac{1}{2}) i x \in ⟨ - \frac{2}{3}, + \infty)$

$x \in ⟨ - \frac{2}{3}, 3 \frac{1}{2})$

$x \in ⟨ 3 \frac{1}{2}, + \infty)$

$5 - ∣ 2 x - 7 ∣ \geq \frac{1}{2} x - 3$

$5 - (2 x - 7) \geq \frac{1}{2} x - 3$

$5 - 2 x + 7 \geq \frac{1}{2} x - 3$

$- 2 x + 12 \geq \frac{1}{2} x - 3 ∣ \cdot 2$

$- 4 x + 24 \geq x - 6$

$- 5 x \geq - 30 ∣ : (- 5)$

$x \leq 6$

$x \in (- \infty, 6 ⟩$

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

$x \in ⟨ 3 \frac{1}{2}, + \infty) i x \in (- \infty, 6 ⟩$

$x \in ⟨ 3 \frac{1}{2}, 6 ⟩$

Łącząc oba przypadki, otrzymujemy następujący zbiór rozwiązań:

$x \in ⟨ - \frac{2}{3}, 3 \frac{1}{2}) lub x \in ⟨ 3 \frac{1}{2}, 6 ⟩$

$x \in ⟨ - \frac{2}{3}, 6 ⟩$

f) Z definicji wartości bezwzględnej:

$∣ x + 2 ∣ = {x + 2 dla x + 2 \geq 0 - (x + 2) dla x + 2 < 0$

$∣ x + 2 ∣ = {x + 2 dla x \geq - 2 - x - 2 dla x < - 2$

Rozważamy więc dwa przypadki:

$x \in (- \infty, - 2)$

$∣ x + 2 ∣ - x > 2 - \frac{2}{3} x$

$- x - 2 - x > 2 - \frac{2}{3} x$

$- 2 x - 2 > 2 - \frac{2}{3} x ∣ \cdot 3$

$- 6 x - 6 > 6 - 2 x$

$- 4 x > 12 ∣ : (- 4)$

$x < - 3$

$x \in (- \infty, - 3)$

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

$x \in (- \infty, - 2) i x \in (- \infty, - 3)$

$x \in (- \infty, - 3)$

$x \in ⟨ - 2, + \infty)$

$∣ x + 2 ∣ - x > 2 - \frac{2}{3} x$

$x + 2 - x > 2 - \frac{2}{3} x$

$2 > 2 - \frac{2}{3} x$

$0 > - \frac{2}{3} x$

$- \frac{2}{3} x < 0 ∣ \cdot (- \frac{3}{2})$

$x > 0$

$x \in (0, + \infty)$

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

$x \in ⟨ - 2, + \infty) i x \in (0, + \infty)$

$x \in (0, + \infty)$

Łącząc oba przypadki, otrzymujemy następujący zbiór rozwiązań:

$x \in (- \infty, - 3) lub x \in (0, + \infty)$

$x \in (- \infty, - 3) \cup (0, + \infty)$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Wartość bezwzględna

Premium

12:36

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równania z wartością bezwzględną

Premium

11:02

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Podstawowe pojęcia dotyczące nierówności

Premium

14:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.