$\text{a)}{x}^2+6x+m=0$  

Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania, gdy:

$\Delta >0$  

$6^2-4\cdot 1\cdot m>0$  

$36-4m>0$  

$36>4m\mid :4$  

$9>m$  

$m<9$  

$m\in \left(-\infty ,9\right)$  

---

Niech x₁, x₂ będą rozwiązaniami równania. Załóżmy, że x₁>x₂.

Chcemy, by jedno rozwiązanie było większe od 2, a drugie mniejsze od 2. Stąd:

$x_1>2\text{i}{x}_2<2$  

$x_1-2>0\text{i}{x}_2-2<0$  

Liczby x₁-2 i x₂-2 mają przeciwne znaki, więc ich iloczyn jest ujemny. W takim razie powyższa koniunkcja jest równoważna nierówności:

$\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)<0$  

$x_1{x}_2-2x_1-2x_2+4<0$  

$x_1{x}_2-2\left(x_1+x_2\right)+4<0$  

Ze wzorów Viete'a obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania:

$x_1+x_2=-\frac{6}{1}=-6$  

$x_1\cdot x_2=\frac{m}{1}=m$  

Podstawiamy do nierówności x₁+x₂=-6 oraz x₁x₂=m.

$m-2\cdot \left(-6\right)+4<0$  

$m+12+4<0$  

$m+16<0$  

$m<-16$  

Po uwzględnieniu warunku wynikającego z delty, otrzymujemy:

$m<-16$  

---

---

$\text{b)}{x}^2-4x+1-p=0$  

Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania, gdy:

$\Delta >0$  

${\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(1-p\right)>0$  

$16-4+4p>0$  

$12+4p>0$  

$4p>-12\mid :4$  

$p>-3$  

$p\in \left(-3,+\infty \right)$  

---

Niech x₁, x₂ będą rozwiązaniami równania. Załóżmy, że x₁>x₂.

Chcemy, by jedno rozwiązanie było większe od -4, a drugie mniejsze od -4. Stąd:

$x_1>-4\text{i}{x}_2<-4$  

$x_1+4>0\text{i}{x}_2+4<0$  

Liczby x₁+4 i x₂+4 mają przeciwne znaki, więc ich iloczyn jest ujemny. W takim razie powyższa koniunkcja jest równoważna nierówności:

$\left(x_1+4\right)\left(x_2+4\right)<0$  

$x_1{x}_2+4x_1+4x_2+16<0$  

$x_1{x}_2+4\left(x_1+x_2\right)+16<0$  

Ze wzorów Viete'a obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania:

$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$  

$x_1\cdot x_2=\frac{1-p}{1}=1-p$  

Podstawiamy do nierówności x₁+x₂=4 oraz x₁x₂=1-p.

$1-p+4\cdot 4+16<0$  

$1-p+16+16<0$  

$-p+33<0$  

$33<p$  

$p>33$  

Po uwzględnieniu warunku wynikającego z delty, otrzymujemy:

$p>33$