a) Obliczamy wyróżnik Δ: 

$\Delta =2^2-4\cdot 5\cdot m=4-20m$  

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, gdy  Δ=0. Stąd:

$4-20m=0$  

$20m=4\mid :20$  

$m=\frac{1}{5}$  

Dla wyznaczonej wartości m równanie ma postać:

$5x^2+2x+\frac{1}{5}=0$  

Obliczamy rozwiązanie równania:

$x=\frac{-2}{2\cdot 5}=\frac{-2}{10}=-\frac{1}{5}$  

---

b) Obliczamy wyróżnik Δ: 

$\Delta =5^2-4\cdot \left(-6\right)\cdot m=25+24m$  

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, gdy Δ=0. Stąd:

$25+24m=0$  

$24m=-25\mid :24$  

$m=-\frac{25}{24}$  

Dla wyznaczonej wartości m równanie ma postać:

$-6x^2+5x-\frac{25}{24}=0$  

Obliczamy rozwiązanie równania:

$x=\frac{-5}{2\cdot \left(-6\right)}=\frac{-5}{-12}=\frac{5}{12}$  

---

c) Obliczamy wyróżnik Δ: 

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot \left(-2m\right)=16-\frac{8}{3}m$  

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, gdy Δ=0. Stąd:

$16-\frac{8}{3}m=0$  

$\frac{8}{3}m=16\mid \cdot \frac{3}{8}$  

$m=6$  

Dla wyznaczonej wartości m równanie ma postać:

$-\frac{1}{3}{x}^2-4x-12=0$  

Obliczamy rozwiązanie równania:

$x=\frac{4}{2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{4}{-\frac{2}{3}}=4\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-6$  

---

d) Obliczamy wyróżnik Δ: 

$\Delta =m^2-4\cdot 3\cdot 3=m^2-4\cdot 9=m^2-36$  

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, gdy Δ=0. Stąd:

$m^2-36=0$  

$m^2=36$  

$m=6\text{lub}m=-6$  

Dla wyznaczonych wartości m równanie ma postać:

$3x^2+6x+3=0\text{lub}3x^2-6x+3=0$  

Obliczamy rozwiązanie równania:

• dla m=6:

$x=\frac{-6}{2\cdot 3}=\frac{-6}{6}=-1$  

• dla m=-6:

$x=\frac{6}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1$  

---

e) Obliczamy wyróżnik Δ: 

$\Delta =m^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-5\right)=m^2-40$  

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, gdy Δ=0. Stąd:

$m^2-40=0$  

$m^2=40$  

$m^2=4\cdot 10$  

$m=2\sqrt{10}\text{lub}m=-2\sqrt{10}$  

Dla wyznaczonych wartości m równanie ma postać:

$-2x^2+2\sqrt{10}x-5=0\text{lub}-2x^2-2\sqrt{10}x-5=0$  

Obliczamy rozwiązanie równania:

• $\text{dla}m=2\sqrt{10}$  

$x=\frac{-2\sqrt{10}}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-2\sqrt{10}}{-4}=\frac{\sqrt{10}}{2}$  

• $\text{dla}m=-2\sqrt{10}$  

$x=\frac{2\sqrt{10}}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{2\sqrt{10}}{-4}=-\frac{\sqrt{10}}{2}$  

---

f) Obliczamy wyróżnik Δ: 

$\Delta ={\left(-3m\right)}^2-4\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\cdot \left(-1\right)=9m^2-3$  

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, gdy Δ=0. Stąd:

$9m^2-3=0$  

$9m^2=3\mid :9$  

$m^2=\frac{3}{9}$  

$m=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{lub}m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$  

Dla wyznaczonej wartości m równanie ma postać:

$-\frac{3}{4}{x}^2-\sqrt{3}x-1=0\text{lub}-\frac{3}{4}{x}^2+\sqrt{3}x-1=0$  

Obliczamy rozwiązanie równania:

• $\text{dla}m=\frac{\sqrt{3}}{3}:$  

$x=\frac{\sqrt{3}}{2\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{-\frac{3}{2}}=\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$  

• $\text{dla}m=-\frac{\sqrt{3}}{3}:$  

$x=\frac{-\sqrt{3}}{2\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)}=\frac{-\sqrt{3}}{-\frac{3}{2}}=-\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{2\sqrt{3}}{3}$  

---

g) Obliczamy wyróżnik Δ: 

$\Delta =2^2-4\cdot m\cdot 1=4-4m$  

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, gdy Δ=0. Stąd:

$4-4m=0$  

$4m=4\mid :4$  

$m=1$  

Dla wyznaczonej wartości m równanie ma postać:

$x^2+2x+1=0$  

Obliczamy rozwiązanie równania:

$x=\frac{-2}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=1$  

Zauważmy, że gdy współczynnik przy x² jest równy 0, czyli gdy m=0, to mamy równanie liniowe i wówczas równanie również ma jedno rozwiązanie. Wyznaczamy je:

$0\cdot x^2+2x+1=0$  

$2x+1=0$  

$2x=-1\mid :2$  

$x=-\frac{1}{2}$  

Podsumowując:

• dla m=0 rozwiązaniem równania jest x=-1/2,
• dla m=1 rozwiązaniem równania jest x=1.

---

h) Obliczamy wyróżnik Δ: 

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot m\cdot \left(-5\right)=25+20m$  

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, gdy Δ=0. Stąd:

$25+20m=0$  

$20m=-25\mid :20$  

$m=-\frac{5}{4}$  

Dla wyznaczonej wartości m równanie ma postać:

$-\frac{5}{4}{x}^2-5x-5=0$  

Obliczamy rozwiązanie równania:

$x=\frac{5}{2\cdot \left(-\frac{5}{4}\right)}=\frac{5}{-\frac{5}{2}}=5\cdot \left(-\frac{2}{5}\right)=-2$  

Zauważmy, że gdy współczynnik przy x² jest równy 0, czyli gdy m=0, to mamy równanie liniowe i wówczas równanie również ma jedno rozwiązanie. Wyznaczamy je:

$0\cdot x^2-5x-5=0$  

$5x=-5\mid :5$  

$x=-1$  

Podsumowując:

• dla m=0 rozwiązaniem równania jest x=-1,
• dla m=-5/4 rozwiązaniem równania jest x=-2.

---

i) Obliczamy wyróżnik Δ: 

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 2m\cdot 2=9-16m$  

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, gdy Δ=0. Stąd:

$9-16m=0$  

$16m=9\mid :16$  

$m=\frac{9}{16}$  

Dla wyznaczonej wartości m równanie ma postać:

$\frac{9}{8}{x}^2-3x+2=0$  

Obliczamy rozwiązanie równania:

$x=\frac{3}{2\cdot \frac{9}{8}}=\frac{3}{\frac{9}{4}}=3\cdot \frac{4}{9}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$  

---

j) Obliczamy wyróżnik Δ: 

$\Delta =m^2-4\cdot 1\cdot m=m^2-4m$  

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, gdy Δ=0. Stąd:

$m^2-4m=0$  

$m\left(m-4\right)=0$  

$m=0\text{lub}m-4=0$  

$m=0\text{lub}m=4$  

Dla wyznaczonych wartości m równanie ma postać:

$x^2=0\text{lub}{x}^2+4x+4=0$  

Obliczamy rozwiązanie równania:

• dla m=0:

$x=\frac{0}{2\cdot 1}=0$  

• dla m=4:

$x=\frac{-4}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2$  

---

k) Obliczamy wyróżnik Δ: 

$\Delta ={\left(-3m\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2m\right)=9m^2+8m$  

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, gdy Δ=0. Stąd:

$9m^2+8m=0\mid :9$  

$m^2+\frac{8}{9}m=0$  

$m\left(m+\frac{8}{9}\right)=0$  

$m=0\text{lub}m+\frac{8}{9}=0$  

$m=0\text{lub}m=-\frac{8}{9}$  

Dla wyznaczonych wartości m równanie ma postać:

$x^2=0\text{lub}{x}^2+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=0$  

Obliczamy rozwiązanie równania:

• dla m=0:

$x=\frac{0}{2\cdot 1}=0$  

• dla m=-8/9:

$x=\frac{-\frac{8}{3}}{2\cdot 1}=\frac{-\frac{8}{3}}{2}=-\frac{8}{3}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3}$  

---

l) Obliczamy wyróżnik Δ: 

$\Delta ={\left(5m\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-10m\right)=25m^2-80m$  

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, gdy Δ=0. Stąd:

$25m^2-80m=0\mid :25$  

$m^2-\frac{16}{5}m=0$  

$m\left(m-\frac{16}{5}\right)=0$  

$m=0\text{lub}m-\frac{16}{5}=0$  

$m=0\text{lub}m=\frac{16}{5}$  

Dla wyznaczonych wartości m równanie ma postać:

$-2x^2=0\text{lub}-2x^2+16x-32=0$  

Obliczamy rozwiązanie równania:

• dla m=0:

$x=\frac{0}{2\cdot \left(-2\right)}=0$  

• dla m=16/5:

$x=\frac{-16}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-16}{-4}=4$  

---

m) Obliczamy wyróżnik Δ: 

$\Delta =4^2-4\cdot m\cdot m=16-4m^2$  

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, gdy Δ=0. Stąd:

$16-4m^2=0$  

$4m^2=16\mid :4$  

$m^2=4$  

$m=2\text{lub}m=-2$  

Dla wyznaczonych wartości m równanie ma postać:

$2x^2+4x+2=0\text{lub}-2x^2+4x-2=0$  

Obliczamy rozwiązanie równania:

• dla m=2:

$x=\frac{-4}{2\cdot 2}=\frac{-4}{4}=-1$  

• dla m=-2:

$x=\frac{-4}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-4}{-4}=1$  

Zauważmy, że gdy współczynnik przy x² jest równy 0, czyli gdy m=0, to mamy równanie liniowe i wówczas równanie również ma jedno rozwiązanie. Wyznaczamy je:

$0\cdot x^2+4x+0=0$  

$4x=0\mid :4$  

$x=0$  

Podsumowując:

• dla m=0 rozwiązaniem równania jest x=0,
• dla m=2 rozwiązaniem równania jest x=-1,
• dla m=-2 rozwiązaniem równania jest x=1.

---

n) Obliczamy wyróżnik Δ: 

$\Delta =m^2-4\cdot m\cdot \left(-5\right)=m^2+20m$  

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, gdy Δ=0. Stąd:

$m^2+20m=0$  

$m\left(m+20\right)=0$  

$m=0\text{lub}m+20=0$  

$m=0\text{lub}m=-20$  

Zauważmy, że gdy m=0, to równanie nie jest równaniem kwadratowym, ponieważ współczynnik przy x² jest równy 0. Wówczas równanie ma postać: -5=0, czyli jest sprzeczne. Oznacza to, że m=0 nie spełnia warunków zadania.

Dla m=-20 równanie ma postać:

$-20x^2-20x-5=0$  

Obliczamy rozwiązanie równania:

$x=\frac{20}{2\cdot \left(-20\right)}=\frac{20}{-40}=-\frac{1}{2}$  

---

o) Obliczamy wyróżnik Δ: 

$\Delta ={\left(-5m\right)}^2-4\cdot 3m\cdot 1=25m^2-12m$  

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, gdy Δ=0. Stąd:

$25m^2-12m=0\mid :25$  

$m^2-\frac{12}{25}m=0$  

$m\left(m-\frac{12}{25}\right)=0$  

$m=0\text{lub}m-\frac{12}{25}=0$  

$m=0\text{lub}m=\frac{12}{25}$  

Zauważmy, że gdy m=0, to równanie nie jest równaniem kwadratowym, ponieważ współczynnik przy x² jest równy 0. Wówczas równanie ma postać: 1=0, czyli jest sprzeczne. Oznacza to, że m=0 nie spełnia warunków zadania.

Dla m=12/25 równanie ma postać:

$\frac{36}{25}{x}^2-\frac{12}{5}x+1=0$  

Obliczamy rozwiązanie równania:

$x=\frac{\frac{12}{5}}{2\cdot \frac{36}{25}}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{72}{25}}=\frac{12}{5}\cdot \frac{25}{72}=\frac{5}{6}$