Skorzystamy z twierdzenia o współczynniku kierunkowym:

Jeśli dwa różne punkty A(x_A, y_A) i B(x_B, y_B) należą do wykresu funkcji liniowej y=ax+b, to

$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$  

---

a) Niech prosta przechodząca przez punkty A i B dana będzie równaniem:

$y=ax+b$  

Obliczamy współczynnik kierunkowy funkcji liniowej:

$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-7-1}{-2-6}=\frac{-8}{-8}=1$  

Wówczas:

$y=x+b$  

Podstawiamy do wzoru współrzędne punktu A i wyznaczamy b:

$1=6+b$  

$b=-5$  

Mamy więc:

$\text{AB}:y=x-5$  

Sprawdzamy, czy punkt C należy do prostej AB:

$L=16$  

$P=10-5=5$  

$L\ne P$  

Punkt C nie należy do prostej AB, czyli punkty A, B i C nie są współliniowe.

---

b) Niech prosta przechodząca przez punkty A i B dana będzie równaniem:

$y=ax+b$  

Obliczamy współczynnik kierunkowy funkcji liniowej:

$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{100-100}{300-\left(-200\right)}=\frac{0}{500}=0$  

Wówczas:

$y=b$  

Podstawiamy do wzoru współrzędne punktu A i wyznaczamy b:

$100=b$  

Mamy więc:

$\text{AB}:y=100$  

Sprawdzamy, czy punkt C należy do prostej AB:

$L=200$  

$P=100$  

$L\ne P$  

Punkt C nie należy do prostej AB, czyli punkty A, B i C nie są współliniowe.

---

c) Niech prosta przechodząca przez punkty A i B dana będzie równaniem:

$y=ax+b$  

Obliczamy współczynnik kierunkowy funkcji liniowej:

$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-3-\frac{5}{2}}{-20-2}=\frac{-3-2\frac{1}{2}}{-22}=\frac{-5\frac{1}{2}}{-22}=\frac{-\frac{11}{2}}{-22}=\frac{11}{2}\cdot \frac{1}{22}=\frac{1}{4}$  

Wówczas:

$y=\frac{1}{4}x+b$  

Podstawiamy do wzoru współrzędne punktu A i wyznaczamy b:

$\frac{5}{2}=\frac{1}{4}\cdot 2+b$  

$\frac{5}{2}=\frac{1}{2}+b$  

$b=\frac{4}{2}=2$  

Mamy więc:

$\text{AB}:y=\frac{1}{4}x+2$  

Sprawdzamy, czy punkt C należy do prostej AB:

$L=17$  

$P=\frac{1}{4}\cdot 60+2=15+2=17$  

$L=P$  

Punkt C należy do prostej AB, czyli punkty A, B i C są współliniowe.

---

d) Niech prosta przechodząca przez punkty A i B dana będzie równaniem:

$y=ax+b$  

Obliczamy współczynnik kierunkowy funkcji liniowej:

$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-3-18}{4-\left(-3\right)}=\frac{-21}{7}=-3$  

Wówczas:

$y=-3x+b$  

Podstawiamy do wzoru współrzędne punktu A i wyznaczamy b:

$18=-3\cdot \left(-3\right)+b$  

$18=9+b$  

$b=9$  

Mamy więc:

$\text{AB}:y=-3x+9$  

Sprawdzamy, czy punkt C należy do prostej AB:

$L=9$  

$P=-3\cdot 6+9=-18+9=-9$  

$L\ne P$  

Punkt C nie należy do prostej AB, czyli punkty A, B i C nie są współliniowe.