a) W przedziale <-3, -1> funkcja f jest malejąca, a funkcja g jest rosnąca. Niech x₁, x₂ ∈ <-3, -1>, x₁<x₂.

Z definicji funkcji malejącej: f(x₁)>f(x₂) i stąd f(x₁)-f(x₂)>0.

Z definicji funkcji rosnącej: g(x₁)<g(x₂) i stąd g(x₁)-g(x₂)<0.

Badamy monotoniczność funkcji r(x)=f(x)-g(x) w przedziale <-3, -1>:

$r\left(x_1\right)-r\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-g\left(x_1\right)-\left[f\left(x_2\right)-g\left(x_2\right)\right]=f\left(x_1\right)-g\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)+g\left(x_2\right)=\underset{>0}{\underbrace{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}}-\underset{<0}{\underbrace{\left[g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right]}}>0$  

Różnica liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą dodatnią, więc r(x₁)-r(x₂)>0. Wynika stąd, że funkcja r(x)=f(x)-g(x) jest malejąca w przedziale <-3, -1>.

Badamy monotoniczność funkcji s(x)=f(x)+g(x) w przedziale <-3, -1>:

$s\left(x_1\right)-s\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)+g\left(x_1\right)-\left[f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)\right]=f\left(x_1\right)+g\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)-g\left(x_2\right)=\underset{>0}{\underbrace{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}}+\underset{<0}{\underbrace{g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)}}$  

Suma liczby dodatniej i liczby ujemnej może być albo liczbą dodatnią, albo liczbą ujemną. Na podstawie rysunku widzimy, że funkcja f szybciej maleje niż funkcja g rośnie, więc różnica f(x₁)-f(x₂) jest większa od różnicy g(x₁)-g(x₂). W takim razie s(x₁)-s(x₂)>0. Wynika stąd, że funkcja s(x)=f(x)+g(x) jest malejąca w przedziale <-3, -1>.

---

W przedziale <-1, 2> funkcja f jest rosnąca, a funkcja g jest malejąca. Niech x₁, x₂ ∈ <-1, 2>, x₁<x₂.

Z definicji funkcji rosnącej: f(x₁)<f(x₂) i stąd f(x₁)-f(x₂)<0.

Z definicji funkcji malejącej: g(x₁)>g(x₂) i stąd g(x₁)-g(x₂)>0.

Badamy monotoniczność funkcji r(x)=f(x)-g(x) w przedziale <-1, 2>:

$r\left(x_1\right)-r\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-g\left(x_1\right)-\left[f\left(x_2\right)-g\left(x_2\right)\right]=f\left(x_1\right)-g\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)+g\left(x_2\right)=\underset{<0}{\underbrace{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}}-\underset{>0}{\underbrace{\left[g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right]}}<0$  

Różnica liczby ujemnej i liczby dodatniej jest liczbą ujemną, więc r(x₁)-r(x₂)<0. Wynika stąd, że funkcja r(x)=f(x)-g(x) jest rosnąca w przedziale <-1, 2>.

Badamy monotoniczność funkcji s(x)=f(x)+g(x) w przedziale <-1, 2>:

$s\left(x_1\right)-s\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)+g\left(x_1\right)-\left[f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)\right]=f\left(x_1\right)+g\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)-g\left(x_2\right)=\underset{<0}{\underbrace{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}}+\underset{>0}{\underbrace{g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)}}$  

Suma liczby ujemnej i liczby dodatniej może być albo liczbą dodatnią, albo liczbą ujemną. Na podstawie rysunku widzimy, że funkcja g szybciej maleje niż funkcja f rośnie, więc różnica f(x₁)-f(x₂) jest mniejsza od różnicy g(x₁)-g(x₂). W takim razie s(x₁)-s(x₂)>0. Wynika stąd, że funkcja s(x)=f(x)+g(x) jest malejąca w przedziale <-1, 2>.

---

W przedziale <2, 5> funkcja f jest malejąca, a funkcja g jest stała. Niech x₁, x₂ ∈ <2, 5>, x₁<x₂.

Z definicji funkcji malejącej: f(x₁)>f(x₂) i stąd f(x₁)-f(x₂)>0.

Z definicji funkcji stałej: g(x₁)=g(x₂) i stąd g(x₁)-g(x₂)=0.

Badamy monotoniczność funkcji r(x)=f(x)-g(x) w przedziale <2, 5>:

$r\left(x_1\right)-r\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-g\left(x_1\right)-\left[f\left(x_2\right)-g\left(x_2\right)\right]=f\left(x_1\right)-g\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)+g\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)-\underset{0}{\underbrace{\left[g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right]}}=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$  

r(x₁)-r(x₂)>0, więc funkcja r(x)=f(x)-g(x) jest malejąca w przedziale <2, 5>.

Badamy monotoniczność funkcji s(x)=f(x)+g(x) w przedziale <2, 5>:

$s\left(x_1\right)-s\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)+g\left(x_1\right)-\left[f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)\right]=f\left(x_1\right)+g\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)-g\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)+\underset{0}{\underbrace{g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)}}=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$  

s(x₁)-s(x₂)>0, więc funkcja s(x)=f(x)+g(x) jest malejąca w przedziale <2, 5>.

---

W przedziale <5, 8> funkcja f jest stała, a funkcja g jest rosnąca. Niech x₁, x₂ ∈ <5, 8>, x₁<x₂.

Z definicji funkcji stałej: f(x₁)=f(x₂) i stąd f(x₁)-f(x₂)=0.

Z definicji funkcji rosnącej: g(x₁)<g(x₂) i stąd g(x₂)-g(x₁)>0.

Badamy monotoniczność funkcji r(x)=f(x)-g(x) w przedziale <5, 8>:

$r\left(x_1\right)-r\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-g\left(x_1\right)-\left[f\left(x_2\right)-g\left(x_2\right)\right]=f\left(x_1\right)-g\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)+g\left(x_2\right)=\underset{0}{\underbrace{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}}-\left[g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right]=-\left[g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right]=g\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)>0$  

r(x₁)-r(x₂)>0, więc funkcja r(x)=f(x)-g(x) jest malejąca w przedziale <5, 8>.

Badamy monotoniczność funkcji s(x)=f(x)+g(x) w przedziale <5, 8>:

$s\left(x_1\right)-s\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)+g\left(x_1\right)-\left[f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)\right]=f\left(x_1\right)+g\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)-g\left(x_2\right)=\underset{0}{\underbrace{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}}+g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)=g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)<0$  

s(x₁)-s(x₂)<0, więc funkcja s(x)=f(x)+g(x) jest rosnąca w przedziale <5, 8>.

---

Skoro funkcje f i g są ciągłe, to funkcje r(x)=f(x)-g(x) oraz s(x)=f(x)+g(x) również będą ciągłe jako różnica i suma funkcji ciągłych. Wynika stąd np. że jeżeli funkcja r jest malejąca w każdym z przedziałów <2, 5>, <5, 8>, to jest malejąca w przedziale <2, 8>.

Łącząc wszystkie przypadki otrzymujemy, że:

- funkcja r(x)=f(x)-g(x):

• jest malejąca w każdym z przedziałów <-3, -1>, <2, 8>,
• jest rosnąca w przedziale <-1, 2>;

- funkcja s(x)=f(x)+g(x):

• jest malejąca w przedziale <-3, 5>,
• jest rosnąca w przedziale <5, 8>.

---

---

b) W przedziale <-4, -2> funkcja f jest rosnąca, a funkcja g jest malejąca. Niech x₁, x₂ ∈ <-4, -2>, x₁<x₂.

Z definicji funkcji rosnącej: f(x₁)<f(x₂) i stąd f(x₁)-f(x₂)<0.

Z definicji funkcji malejącej: g(x₁)>g(x₂) i stąd g(x₁)-g(x₂)>0.

Badamy monotoniczność funkcji r(x)=f(x)-g(x) w przedziale <-4, -2>:

$r\left(x_1\right)-r\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-g\left(x_1\right)-\left[f\left(x_2\right)-g\left(x_2\right)\right]=f\left(x_1\right)-g\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)+g\left(x_2\right)=\underset{<0}{\underbrace{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}}-\underset{>0}{\underbrace{\left[g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right]}}<0$  

Różnica liczby ujemnej i liczby dodatniej jest liczbą ujemną, więc r(x₁)-r(x₂)<0. Wynika stąd, że funkcja r(x)=f(x)-g(x) jest rosnąca w przedziale <-4, -2>.

Rozważmy funkcję s(x)=f(x)+g(x) w przedziale <-4, -2>. Widzimy, że dla każdego argumentu z tego przedziału wartość funkcji f(x)+g(x) jest stale równa -2, czyli funkcja s(x)=f(x)+g(x) jest stała w przedziale <-4, -2>.

---

Rozważmy funkcję r(x)=f(x)-g(x) w przedziale <-2, 0>. Widzimy, że dla każdego argumentu z tego przedziału wartość funkcji f(x)-g(x) jest stale równa 2, czyli funkcja r(x)=f(x)-g(x) jest stała w przedziale <-2, 0>.

Rozważmy funkcję s(x)=f(x)+g(x) w przedziale <-2, 0>. W tym przedziale funkcje f i g są rosnące, więc funkcja s(x)=f(x)+g(x) również jest rosnąca jako suma funkcji rosnących.

---

W przedziale <0, 2> funkcja f jest malejąca, a funkcja g jest rosnąca. Niech x₁, x₂ ∈ <0, 2>, x₁<x₂.

Z definicji funkcji malejącej: f(x₁)>f(x₂) i stąd f(x₁)-f(x₂)>0.

Z definicji funkcji rosnącej: g(x₁)<g(x₂) i stąd g(x₁)-g(x₂)<0.

Badamy monotoniczność funkcji r(x)=f(x)-g(x) w przedziale <0, 2>:

$r\left(x_1\right)-r\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-g\left(x_1\right)-\left[f\left(x_2\right)-g\left(x_2\right)\right]=f\left(x_1\right)-g\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)+g\left(x_2\right)=\underset{>0}{\underbrace{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}}-\underset{<0}{\underbrace{\left[g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right]}}>0$  

Różnica liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą dodatnią, więc r(x₁)-r(x₂)>0. Wynika stąd, że funkcja r(x)=f(x)-g(x) jest malejąca w przedziale <0, 2>.

Rozważmy funkcję s(x)=f(x)+g(x) w przedziale <0, 2>. Widzimy, że dla każdego argumentu z tego przedziału wartość funkcji f(x)+g(x) jest stale równa 2, czyli funkcja s(x)=f(x)+g(x) jest stała w przedziale <0, 2>.

---

Rozważmy funkcję r(x)=f(x)-g(x) w przedziale <2, 4>. Widzimy, że dla każdego argumentu z tego przedziału wartość funkcji f(x)-g(x) jest stale równa -2, czyli funkcja r(x)=f(x)-g(x) jest stała w przedziale <2, 4>.

Rozważmy funkcję s(x)=f(x)+g(x) w przedziale <2, 4>. W tym przedziale funkcje f i g są malejące, więc funkcja s(x)=f(x)+g(x) również jest malejąca jako suma funkcji malejących.

---

W przedziale <4, 6> funkcja f jest rosnąca, a funkcja g jest malejąca. Niech x₁, x₂ ∈ <4, 6>, x₁<x₂.

Z definicji funkcji rosnącej: f(x₁)<f(x₂) i stąd f(x₁)-f(x₂)<0.

Z definicji funkcji malejącej: g(x₁)>g(x₂) i stąd g(x₁)-g(x₂)>0.

Badamy monotoniczność funkcji r(x)=f(x)-g(x) w przedziale <4, 6>:

$r\left(x_1\right)-r\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-g\left(x_1\right)-\left[f\left(x_2\right)-g\left(x_2\right)\right]=f\left(x_1\right)-g\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)+g\left(x_2\right)=\underset{<0}{\underbrace{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}}-\underset{>0}{\underbrace{\left[g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right]}}<0$  

Różnica liczby ujemnej i liczby dodatniej jest liczbą ujemną, więc r(x₁)-r(x₂)<0. Wynika stąd, że funkcja r(x)=f(x)-g(x) jest rosnąca w przedziale <4, 6>.

Rozważmy funkcję s(x)=f(x)+g(x) w przedziale <4, 6>. Widzimy, że dla każdego argumentu z tego przedziału wartość funkcji f(x)+g(x) jest stale równa -2, czyli funkcja s(x)=f(x)+g(x) jest stała w przedziale <4, 6>.

---

Rozważmy funkcję r(x)=f(x)-g(x) w przedziale <6, 8>. Widzimy, że dla każdego argumentu z tego przedziału wartość funkcji f(x)-g(x) jest stale równa 2, czyli funkcja r(x)=f(x)-g(x) jest stała w przedziale <6, 8>.

Rozważmy funkcję s(x)=f(x)+g(x) w przedziale <6, 8>. W tym przedziale funkcje f i g są rosnące, więc funkcja s(x)=f(x)+g(x) również jest rosnąca jako suma funkcji rosnących.

---

Łącząc wszystkie przypadki otrzymujemy, że:

- funkcja r(x)=f(x)-g(x):

• jest rosnąca w każdym z przedziałów <-4, -2>, <4, 6>,
• stała w każdym z przedziałów <-2, 0>, <2, 4>, <6, 8>,
• jest malejąca w przedziale <0, 2>;

- funkcja s(x)=f(x)+g(x):

• jest stała w każdym z przedziałów <-4, -2>, <4, 6>,
• jest rosnąca w każdym z przedziałów <-2, 0>, <6, 8>,
• malejąca w przedziale <2, 4>.