$\text{a)}{x}^2\cdot \left(x+2\right)\le 0$  

Wyrażenie  $x^2$  jest zawsze nieujemne, natomiast wyrażenie  $x+2$  może przyjmować różne wartości.

Iloczyn dwóch liczb jest liczbą mniejszą lub równą zero, gdy:

$\left(1\right)$  przynajmniej jedna z tych liczb jest zerem

lub

$\left(2\right)$  jedna liczba jest dodatnia, a druga ujemna.

Powyższe warunki są więc równoważne alternatywie:      

$\left(1\right)\left(x^2=0\vee x+2=0\right)\vee \left(2\right)\left(x^2\ne 0\wedge x+2<0\right)$  

Stąd:

$\left(x=0\vee x=-2\right)\vee \left(x\ne 0\wedge x<-2\right)$  

$x\in \left\{-2,0\right\}\vee x\in \left(-\infty ,-2\right)$  

$\underline{x\in (-\infty ,-2⟩\cup \left\{0\right\}}$  

---

$\text{b)}{x}^2\cdot \left(x-3\right)\ge 0$  

Wyrażenie  $x^2$  jest zawsze nieujemne, natomiast wyrażenie  $x-3$  może przyjmować różne wartości.

Iloczyn dwóch liczb jest liczbą większą lub równą zero, gdy:

$\left(1\right)$  przynajmniej jedna z tych liczb jest zerem

lub

$\left(2\right)$  obie te liczby są dodatnie.

Możliwy jest jeszcze trzeci przypadek:

$\left(3\right)$  obie te liczby są ujemne,

ale nie rozważamy go, bo wyrażenie  $x^2$  nie może być ujemne.

Powyższe warunki są więc równoważne alternatywie:

$\left(1\right)\left(x^2=0\vee x-3=0\right)\vee \left(2\right)\left(x^2>0\wedge x-3>0\right)$  

Stąd:

$\left(x=0\vee x=3\right)\vee \left(x\ne 0\wedge x>3\right)$  

$x\in \left\{3,0\right\}\vee x\in \left(3,+\infty \right)$  

$\underline{x\in ⟨3,+\infty )\cup \left\{0\right\}}$  

---

$\text{c)}{x}^2\cdot \left(x+1\right)<0$  

Wyrażenie  $x^2$  jest zawsze nieujemne, natomiast wyrażenie  $x+1$  może przyjmować różne wartości.

Iloczyn dwóch liczb jest liczbą mniejszą od zera, gdy jedna liczba jest dodatnia, a druga ujemna.

Powyższe warunki są więc równoważne koniunkcji:

$x^2>0\wedge x+1<0$  

Stąd:

$x\ne 0\wedge x<-1$  

$\underline{x\in \left(-\infty ,-1\right)}$  

---

$\text{d)}{x}^2\cdot \left(x+5\right)>0$  

Wyrażenie  $x^2$  jest zawsze nieujemne, natomiast wyrażenie  $x+5$  może przyjmować różne wartości.

Iloczyn dwóch liczb jest liczbą większą od zera, gdy obie liczby są dodatnie lub obie liczby są ujemne (tego

przypadku nie rozważamy, bo wyrażenie $x^2$  może przyjmować wyłącznie wartości nieujemne).

Powyższe warunki są więc równoważne koniunkcji:

$x^2>0\wedge x+5>0$  

Stąd:

$x\ne 0\wedge x>-5$  

$\underline{x\in \left(-5,0\right)\cup \left(0,+\infty \right)}$