Trójkąt  $\Delta A_1{B}_1{C}_1$  jest podobny do trójkąta  $\Delta ABC$  wtedy, gdy  $\frac{\left|A_1{B}_1\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|B_1{C}_1\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|A_1{C}_1\right|}{\left|AC\right|}$  

oraz  $\left|\angle A_1\right|=\left|\angle A\right|,\left|\angle B_1\right|=\left|\angle B\right|,\left|\angle C_1\right|=\left|\angle C\right|.$  

 

Jeśli trójkąt  $\Delta A_1{B}_1{C}_1$  jest podobny do trójkąta  $\Delta ABC,$  to skalą podobieństwa nazywamy liczbę  $k,$  

$k=\frac{\left|A_1{B}_1\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|B_1{C}_1\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|A_1{C}_1\right|}{\left|AC\right|}.$  

---

$\text{a)}$  Zauważmy, że z powyższej definicji wynika, że skalą podobieństwa może być stosunek obwodów trójkątów.

Mamy dane:

$L=14\text{cm}-$  obwód trójkąta  $\Delta ABC$  

$\left|A_1{B}_1\right|=2\text{cm}$  

$\left|B_1{C}_1\right|=3\frac{1}{3}\text{cm}$  

$\left|A_1{C}_1\right|=4\text{cm}$  

 

Obliczamy obwód trójkąta  $\Delta ABC:$  

$L_1=\left|A_1{B}_1\right|+\left|B_1{C}_1\right|+\left|A_1{C}_1\right|$  

$L_1=2+3\frac{1}{3}+4$  

$L_1=9\frac{1}{3}\left[\text{cm}\right]$  

 

Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta  $\Delta ABC$  do trójkąta  $\Delta A_1{B}_1{C}_1:$  

$k=\frac{L}{L_1}$  

$k=\frac{14}{9\frac{1}{3}}$  

$k=\frac{14}{\frac{28}{3}}$  

$k=14\cdot \frac{3}{28}$  

$k=\frac{3}{2}$  

$k=1\frac{1}{2}$  

 

Odp. Skala podobieństwa trójkąta  $\Delta ABC$  do trójkąta  $\Delta A_1{B}_1{C}_1$  wynosi  $1\frac{1}{2}.$  

---

$\text{b)}$  Znając skalę podobieństwa, wystarczy zastosować zależność 

$k=\frac{\left|AB\right|}{\left|A_1{B}_1\right|}=\frac{\left|BC\right|}{\left|B_1{C}_1\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\left|A_1{C}_1\right|}$  

do wyznaczenia boków trójkąta  $\Delta A_1{B}_1{C}_1.$  

 

Obliczamy długość boku  $AB:$  

$k=\frac{\left|AB\right|}{\left|A_1{B}_1\right|}$  

$1\frac{1}{2}=\frac{\left|AB\right|}{2}\mid \cdot 2$  

$\left|AB\right|=3\left[\text{cm}\right]$  

 

Obliczamy długość boku  $BC:$  

$k=\frac{\left|BC\right|}{\left|B_1{C}_1\right|}$  

$1\frac{1}{2}=\frac{\left|BC\right|}{3\frac{1}{3}}\mid \cdot 3\frac{1}{3}$  

$\frac{3}{2}\cdot \frac{10}{3}=\left|BC\right|$  

$\left|BC\right|=5\left[\text{cm}\right]$  

 

Obliczamy długość boku  $AC:$  

$k=\frac{\left|AC\right|}{\left|A_1{C}_1\right|}$  

$1\frac{1}{2}=\frac{\left|AC\right|}{4}\mid \cdot 4$  

$\left|AC\right|=6\left[\text{cm}\right]$  

 

Odp. Boki trójkąta  $\Delta ABC$  mają długość:  $\left|AB\right|=3\text{cm},\left|BC\right|=5\text{cm},\left|AC\right|=6\text{cm}.$