Skorzystamy z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa:

Jeżeli ramiona kąta (lub ich przedłużenia) przetniemy dwiema prostymi i stosunek długości odcinków

wyciętych przez te proste na jednym ramieniu kąta (lub na jego przedłużeniu) będzie równy stosunkowi

długości odpowiednich odcinków wyciętych na drugim ramieniu kąta (lub na jego przedłużeniu), to te proste

są równoległe.

---

$\text{a)}$  Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa należy sprawdzić, czy:

$\frac{\left|OA\right|}{\left|O{A}_1\right|}=\frac{\left|AB\right|}{\left|A_1{B}_1\right|}$  

Obliczamy długość odcinka  $A_1{B}_1:$        

$\left|A_1{B}_1\right|=\left|O{B}_1\right|-\left|O{A}_1\right|=9,3-6,3=3\left[\text{dm}\right]$  

Sprawdzamy, czy zachodzi równość:

$\frac{\left|OA\right|}{\left|O{A}_1\right|}=\frac{\left|AB\right|}{\left|A_1{B}_1\right|}$  

$\frac{\left|OA\right|}{\left|O{A}_1\right|}=\frac{4,2}{6,3}=\frac{2}{3}$  

$\frac{\left|AB\right|}{\left|A_1{B}_1\right|}=\frac{2}{3}$  

Zachodzi równość  $\frac{\left|OA\right|}{\left|O{A}_1\right|}=\frac{\left|AB\right|}{\left|A_1{B}_1\right|},$  więc proste $A{A}_1$  i  $B{B}_1$  są równoległe.

---

$\text{b)}$  Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa należy sprawdzić, czy:

$\frac{\left|OA\right|}{\left|O{A}_1\right|}=\frac{\left|OB\right|}{\left|O{B}_1\right|}$  

Obliczamy długość odcinka  $O{A}_1:$  

$\left|O{A}_1\right|=\left|O{B}_1\right|-\left|A_1{B}_1\right|=28,5-20=8,5\left[\text{cm}\right]$  

Sprawdzamy, czy zachodzi równość:

$\frac{\left|OA\right|}{\left|O{A}_1\right|}=\frac{\left|OB\right|}{\left|O{B}_1\right|}$  

$\frac{\left|OA\right|}{\left|O{A}_1\right|}=\frac{6,8}{8,5}=\frac{68}{85}$  

$\frac{\left|OB\right|}{\left|O{B}_1\right|}=\frac{22,8}{28,5}=\frac{228}{285}$  

Sprawdźmy, czy zachodzi równość:

$\frac{68}{85}\stackrel{?}{=}\frac{228}{285}$  

$68\cdot 285\stackrel{?}{=}85\cdot 228$  

$68\cdot 3\cdot 19\cdot 5\stackrel{?}{=}17\cdot 5\cdot 228$  

$4\cdot 17\cdot 3\cdot 19\cdot 5\stackrel{?}{=}17\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 19$  

Zatem równość zachodzi.

Zachodzi równość  $\frac{\left|OA\right|}{\left|O{A}_1\right|}=\frac{\left|OB\right|}{\left|O{B}_1\right|},$  więc proste $A{A}_1$  i  $B{B}_1$ są równoległe.