a) Po zwiększeniu krótszego boku o x otrzymamy bok o długości 2+x.

Po zmniejszeniu dłuższego boku o x otrzymamy bok o długości 4-x. 

Wówczas pole prostokąta obliczymy ze wzoru:

$P=\left(2+x\right)\left(4-x\right)$  

Niewiadoma x wyraża długość, więc musi być liczbą dodatnią (x>0). Wyrażenie 4-x to długość boku prostokąta, więc musi być liczbą dodatnią (4-x>0, czyli x<4). Stąd: x ∈ (0, 4).

Zatem szukana funkcja to:

$P\left(x\right)=\left(2+x\right)\left(4-x\right),\text{gdzie}x\in \left(0,4\right)$  

---

b) Obliczamy pole prostokąta dla x=1:

$P\left(1\right)=\left(2+1\right)\left(4-1\right)=3\cdot 3=9$  

Obliczamy pole prostokąta dla x=2:

$P\left(2\right)=\left(2+2\right)\left(4-2\right)=4\cdot 2=8$  

Obliczamy pole prostokąta dla x=3:

$P\left(3\right)=\left(2+3\right)\left(4-3\right)=5\cdot 1=5$  

Obliczamy pole prostokąta dla $x=3\frac{1}{2}:$  

$P\left(3\frac{1}{2}\right)=\left(2+3\frac{1}{2}\right)\left(4-3\frac{1}{2}\right)=5\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{11}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{11}{4}=2\frac{3}{4}$  

---

c) Przekształcamy wzór funkcji P do postaci kanonicznej:

$P\left(x\right)=\left(2+x\right)\left(4-x\right)=8-2x+4x-x^2=-x^2+2x+8=-\left(x^2-2x-8\right)=-\left(x^2-2x+\underset{-8}{\underbrace{1-9}}\right)=-\left[\left(x^2-2x+1\right)-9\right]=-\left(x^2-2x+1\right)+9=-{\left(x-1\right)}^2+9$  

Wzór funkcji w postaci kanonicznej:

$P\left(x\right)=-{\left(x-1\right)}^2+9$  

---

d) Obliczamy kilka punktów należących do wykresu funkcji P(x)=-(x-1)²+9 i przedstawiamy je w tabeli, pamiętając o dziedzinie funkcji. Obliczymy też wartości funkcji na końcach przedziału, które nie należą do dziedziny.

x	0	1	2	3	4
y=P(x)	8	9	8	5	0

 

Rysujemy wykres funkcji y=P(x) w dziedzinie (0, 4):