a) Założenie:

$x+4\ne 0\mid -4$  

$x\ne -4$  

$D_f=\mathbb{R}-\left\{-4\right\}$  

---

b) Funkcja liczbowa f : X → Y jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, to znaczy, że dla dowolnych argumentów x₁, x₂ z nierówności x₁≠x₂ wynika nierówność f(x₁)≠f(x₂), czyli f(x₁)-f(x₂)≠0.

Zał: x₁≠x₂

Teza: f(x1)-f(x2)≠0

Dowód:

Rozpisując lewą stronę tezy otrzymujemy:

$L=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{3x_1+10}{x_1+4}-\frac{3x_2+10}{x_2+4}=\frac{\left(3x_1+10\right)\left(x_2+4\right)}{\left(x_1+4\right)\left(x_2+4\right)}-\frac{\left(3x_2+10\right)\left(x_1+4\right)}{\left(x_1+4\right)\left(x_2+4\right)}=$  

$=\frac{3x_1{x}_2+12x_1+10x_2+40}{\left(x_1+4\right)\left(x_2+4\right)}-\frac{3x_1{x}_2+12x_2+10x_1+40}{\left(x_1+4\right)\left(x_2+4\right)}=$  

$=\frac{3x_1{x}_2+12x_1+10x_2+40-3x_1{x}_2-12x_2-10x_1-40}{\left(x_1+4\right)\left(x_2+4\right)}=$  

$=\frac{2x_1-2x_2}{\left(x_1+4\right)\left(x_2+4\right)}=\frac{2\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1+4\right)\left(x_2+4\right)}=\left(x_1-x_2\right)\cdot \left[\frac{2}{\left(x_1+4\right)\left(x_2+4\right)}\right]$  

Ponieważ x₁≠x₂ więc x₁-x₂≠0. Wyrażenie w nawiasie kwadratowym nie przyjmuje wartości równej 0.

Ponieważ x₁ i x₂ oznaczały dowolne liczby rzeczywiste, więc wykazaliśmy, że funkcja f(x) jest różnowartościowa.