a) Dany jest trójkąt taki jak na poniższym obrazku

 

Rozważmy trójkąt ADC. 

Wiemy, że

$\sphericalangle DAC={45}^{\circ }$

$\sphericalangle CDA={90}^{\circ }$   

Suma kątów w trójkącie jest równa 180° , więc

$\sphericalangle ACD={45}^{\circ }$

czyli jest to trójkąt równoramienny, w którym |AD|=|CD|

(ponieważ oba te boki wychodzą z kąta prostego)

Zauważmy, że trójkąt prostokątny równoramienny powstaje w wyniku rozcięcia na pół kwadratu wzdłuż przekątnej. 

Oznaczając przez a długość przyprostokątnej tego trójkąta, dostajemy że

$a\sqrt{2}=2\mid :\sqrt{2}$

$a=\frac{2}{\sqrt{2}}$

po usunięciu niewymierności z mianownika otrzymamy

$a=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{{\cancel{2}}^1\sqrt{2}}{{\cancel{2}}_1}=\sqrt{2}$

czyli

$\left|AD\right|=\left|CD\right|=h=\sqrt{2}$     

---

b) Dany jest trójkąt taki jak na rysunku poniżej

Rozważmy trójkąt prostokątny CAD.

Wiemy, że

$\sphericalangle CAD={30}^{\circ }$

$\sphericalangle CDA={90}^{\circ }$   

Suma kątów w trójkącie jest równa 180° , więc

$\sphericalangle ACD={60}^{\circ }$

Otrzymaliśmy trójkąt prostokątny o kątach 30°, 60° i 90°, który powstaje na skutek "rozcięcia" wzdłuż wysokości trójkąta równobocznego. 

Wtedy odcinek AC będzie bokiem tego trójkąta równobocznego, a odcinek CD połową boku tego trójkąta.

Zatem

  $h=\left|CD\right|=\frac{1}{2}\left|AC\right|=\frac{1}{2}\cdot 10=5$

---

c) Dany jest trójkąt taki jak na poniższym rysunku

 

Rozważmy trójkąt prostokątny ADC.

Wiemy, że

$\sphericalangle CAD={60}^{\circ }$

$\sphericalangle CDA={90}^{\circ }$   

Suma kątów w trójkącie jest równa 180° , więc

$\sphericalangle ACD={30}^{\circ }$

Otrzymaliśmy trójkąt prostokątny o kątach 30°, 60° i 90°, który powstaje na skutek "rozcięcia" wzdłuż wysokości trójkąta równobocznego. 

Wtedy odcinek AC będzie bokiem tego trójkąta równobocznego, odcinek AD połową boku tego trójkąta, a odcinek CD jego wysokością.

Korzystając ze wzoru na wysokość h trójkąta równobocznego o boku długości a, postaci

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

wstawiając a = 4, dostajemy

$h=\left|CD\right|=\frac{{\cancel{4}}^2\sqrt{3}}{{\cancel{2}}_1}=2\sqrt{3}$