a)  Wykonajmy rysunek pomocniczy

Z zależności podanych w zadaniu możemy zapisać, że kąty w tym trójkącie są miary:

$2x,3x,4x$  

Wiemy, że suma kątów w trójkącie jest równa 180⁰, zatem dostajemy, że

$2x+3x+4x={180}^{\circ }$  

$9x={180}^{\circ }\mid :9$  

  $x={20}^{\circ }$

czyli miary kątów w tym trójkącie to:

$2x=2\cdot {20}^{\circ }={40}^{\circ }$

$3x=3\cdot {20}^{\circ }={60}^{\circ }$

$4x=4\cdot {20}^{\circ }={80}^{\circ }$

---

b) Wykonajmy rysunek pomocniczy

W trójkącie równoramiennym dwa kąty przy podstawie są równe, możliwe są zatem przypadki 

1) Kąt przy podstawie jest dwa razy mniejszy niż między ramionami, oznaczając kąt przy podstawie przez α dostajemy, że kąty w tym trójkącie są równe

$\alpha ,\alpha ,2\alpha$

suma kątów w trójkącie jest równa  180⁰, zatem dostajemy, że

$\alpha +\alpha +2\alpha ={180}^{\circ }$

$4\alpha ={180}^{\circ }\mid :4$

$\alpha ={45}^{\circ }$

czyli kąty w tym trójkącie są miary

${45}^{\circ },{45}^{\circ },{90}^{\circ }$     

2) Kąt przy podstawie jest dwa razy większy niż między ramionami, oznaczając kąt między ramionami przez β dostajemy, że kąty w tym trójkącie są równe

$\beta ,2\beta ,2\beta$

suma kątów w trójkącie jest równa  180⁰, zatem dostajemy, że

$\beta +2\beta +2\beta ={180}^{\circ }$

$5\beta ={180}^{\circ }\mid :5$

$\beta ={36}^{\circ }$

czyli kąty w tym trójkącie są miary

${36}^{\circ },{72}^{\circ },{72}^{\circ }$     

---

c) Kąty w podanym trójkącie uporządkowane od najmniejszego do największego oznaczmy przez 

$\alpha ,\beta ,\gamma$  

z treści zadania wiemy,  że

$\gamma =\alpha +\beta$  

$\beta =\frac{\alpha +\gamma }{2}$

czyli wstawiając 

  $\beta =\frac{\alpha +\gamma }{2}$

do pierwszej równości dostajemy, że

$\gamma =\alpha +\frac{\alpha +\gamma }{2}\mid \cdot 2$

$2\gamma =2\alpha +\alpha +\gamma$

$\gamma =3\alpha$

czyli

$\beta =\frac{\alpha +3\alpha }{2}=2\alpha$

suma kątów w trójkącie jest równa 180⁰, zatem dostajemy, że

$\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$

$\alpha +2\alpha +3\alpha ={180}^{\circ }$

$6\alpha ={180}^{\circ }\mid :6$

$\alpha ={30}^{\circ }$

wobec tego kąty w tym trójkącie są miary:

$\alpha ={30}^{\circ }$

$\beta =2\alpha =2\cdot {30}^{\circ }={60}^{\circ }$

$\gamma =3\alpha =3\cdot {30}^{\circ }={90}^{\circ }$