Założenia:

$k\in \mathbb{Z}$  

$2k+1,2k+3-$  dwie kolejne liczby nieparzyste

---

Teza:

${\left(2k+1\right)}^2+{\left(2k+3\right)}^2=8m+2,$  gdzie  $m\in \mathbb{Z}$  

---

Dowód (wprost):

${\left(2k+1\right)}^2+{\left(2k+3\right)}^2=4k^2+4k+1+4k^2+12k+9=8k^2+16k+10=$  

$=8k^2+16k+8+2=8\underset{m}{\underbrace{\left(k^2+2k+1\right)}}+2=8m+2$  

---

Zapisaliśmy sumę kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jako  $8m+2,$  gdzie  $m\in \mathbb{Z}.$  

Oznacza to, że reszta z dzielenia przez  $8$  sumy kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych

jest równa  $2,$  co należało dowieść.