$\text{a)}$  

$\mathrm{tg}\alpha =1\frac{1}{2}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{2}$  

Wystarczy zbudować trójkąt, którego przyprostokątne mają długość 3 i 2.

Kąt α leży naprzeciwko przyprostokątnej długości 3.

Rysunek:

Obliczmy długość przeciwprostokątnej, korzystając z tw. Pitagorasa.

$3^2+2^2=c^2$  

$9+4=c^2$  

$13=c^2$  

$\sqrt{13}=c$  

 

Zatem mamy:

$\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$  

$\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$  

$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{2}{3}$  

---

$\text{b)}$  

$\cos \alpha =\frac{2}{3}$  

Wystarczy zbudować trójkąt, którego jedna z przyprostokątnych ma długość 2, a przeciwprostokątna ma długość 3.

Kąt α leży przy przyprostokątnej długości 2.

Rysunek:

Obliczmy długość przyprostokątnej, korzystając z tw. Pitagorasa.

$a^2+2^2=3^2$  

$a^2+4=9\mid -4$  

$a^2=5$  

$a=\sqrt{5}$  

 

Zatem mamy:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}$  

$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$  

---

$\text{c)}$  

$\sin \alpha =0,4$  

$\sin \alpha =\frac{4}{10}$  

$\sin \alpha =\frac{2}{5}$  

Wystarczy zbudować trójkąt, którego jedna z przyprostokątnych ma długość 2, a przeciwprostokątna ma długość 5.

Kąt α leży naprzeciwko przyprostokątnej długości 2.

Rysunek:

Obliczmy długość przyprostokątnej, korzystając z tw. Pitagorasa.  

$2^2+b^2=5^2$  

$4+b^2=25\mid -4$  

$b^2=21$  

$b=\sqrt{21}$  

 

Zatem mamy:

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{21}}{5}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}$  

$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\sqrt{21}}{2}$  

---

$\text{d)}$  

  $\mathrm{ctg}\alpha =2,4$  

$\mathrm{ctg}\alpha =2\frac{4}{10}$  

$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{24}{10}$  

$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{12}{5}$  

Wystarczy zbudować trójkąt, którego przyprostokątne mają długość 12 i 5.

Kąt α leży naprzeciwko przyprostokątnej długości 12.

Rysunek:

Obliczmy długość przeciwprostokątnej, korzystając z tw. Pitagorasa.

${12}^2+5^2=c^2$  

$144+25=c^2$  

$169=c^2$  

$13=c$  

 

Zatem mamy:

$\sin \alpha =\frac{5}{13}$  

$\cos \alpha =\frac{12}{13}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{5}{12}$