Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

$\sin \alpha =\frac{2}{3}$  

 

$\sin \alpha =\frac{a}{c}$  

$\frac{a}{c}=\frac{2}{3}\mid \cdot c$  

$a=\frac{2}{3}c$  

 

Z tw. Pitagorasa:

$a^2+b^2=c^2$  

${\left(\frac{2}{3}c\right)}^2+b^2=c^2$  

$\frac{4}{9}{c}^2+b^2=c^2$  

$b^2=\frac{5}{9}{c}^2$  

 

Obliczamy wartość wyrażenia:

$\frac{b^2+c^2}{6ac}=\frac{\frac{5}{9}{c}^2+c^2}{6\cdot \frac{2}{3}c\cdot c}=\frac{\frac{14}{9}{c}^2}{4c^2}=\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$