Rysunek pomocniczy:

Oznaczmy:

$\left|\sphericalangle CDB\right|=\alpha$  

$\left|\sphericalangle ACB\right|=\alpha$  

$\left|\sphericalangle ACD\right|=\beta$  

 

Zatem otrzymujemy:   

$\left|\sphericalangle DCB\right|=\alpha -\beta$  

Z sumy miar kątów w trójkącie CDB otrzymujemy:

$\left|\sphericalangle DBC\right|={180}^{\circ }-\alpha -\left(\alpha -\beta \right)={180}^{\circ }-2\alpha +\beta$  

 

Kąty ADC i CDB są przyległe, zatem:

$\left|\sphericalangle ADC\right|={180}^{\circ }-\alpha$  

Z sumy miar kątów w trójkącie ADC otrzymujemy:

$\left|\sphericalangle DAC\right|={180}^{\circ }-\beta -\left({180}^{\circ }-\alpha \right)=\alpha -\beta$  

 

Z sumy miar kątów w trójkącie ABC otrzymujemy:

$\left|\sphericalangle ABC\right|={180}^{\circ }-\alpha -\left(\alpha -\beta \right)={180}^{\circ }-2\alpha +\beta$  

 

Na podstawie powyższych obliczeń możemy zauważyć, że trójkąty DBC oraz ABC są podobne (kąt-kąt-kąt).

$\left|\sphericalangle CDB\right|=\alpha \text{i}\left|\sphericalangle ACB\right|=\alpha$  

$\left|\sphericalangle BAC\right|=\left|\sphericalangle DAC\right|=\alpha -\beta \text{i}\left|\sphericalangle DCB\right|=\alpha -\beta$  

$\left|\sphericalangle DBC\right|={180}^{\circ }-2\alpha +\beta \text{i}\left|\sphericalangle ABC\right|={180}^{\circ }-2\alpha +\beta$  

 

Zatem:

$\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BC\right|}{\left|CD\right|}$  

$\frac{10}{5}=\frac{8}{\left|CD\right|}$  

$10\cdot \left|CD\right|=5\cdot 8$  

$\left|CD\right|=4$  

 

oraz

$\frac{\left|AB\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|BC\right|}{\left|BD\right|}$  

$\frac{10}{8}=\frac{8}{10-x}$  

$10\cdot \left(10-x\right)=8\cdot 8$  

$100-10x=64\mid -64+10x$  

$36=10x\mid :10$  

$3,6=x$  

 

Zatem otrzymujemy:

$\left|DB\right|=10-x=10-3,6=6,4$