$\text{a)}\{\begin{array}{l}-2ax+by=6\\ ax-3y=1\end{array}$  

Para liczb (-23, -8) ma być rozwiązaniem układu równań, więc podstawiamy do układu x=-23, y=-8 i wyznaczamy a oraz b.

$\{\begin{array}{l}-2a\cdot \left(-23\right)+b\cdot \left(-8\right)=6\\ a\cdot \left(-23\right)-3\cdot \left(-8\right)=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}46a-8b=6\mid :2\\ -23a+24=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}23a-4b=3\\ -23a=-23\mid :\left(-23\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}23a-4b=3\\ a=1\end{array}$  

Podstawiamy a=1 do pierwszego równania.

$\{\begin{array}{l}23-4b=3\\ a=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-4b=-20\mid :\left(-4\right)\\ a=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=5\\ a=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=1\\ b=5\end{array}$  

Odp. Para liczb (-23, -8) jest rozwiązaniem układu równań, gdy a=1, b=5.

---

$\text{b)}\{\begin{array}{l}5x-ay=8\\ bx-2ay=4\end{array}$  

Para liczb (2, 1) ma być rozwiązaniem układu równań, więc podstawiamy do układu x=2, y=1 i wyznaczamy a oraz b.

$\{\begin{array}{l}5\cdot 2-a\cdot 1=8\\ b\cdot 2-2a\cdot 1=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}10-a=8\\ 2b-2a=4\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-a=-2\mid \cdot \left(-1\right)\\ b-a=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=2\\ b-a=2\end{array}$  

Podstawiamy a=2 do drugiego równania.

$\{\begin{array}{l}a=2\\ b-2=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=2\\ b=4\end{array}$  

Odp. Para liczb (2, 1) jest rozwiązaniem układu równań, gdy a=2, b=4.

---

$\text{c)}\{\begin{array}{l}\left(5+a\right)x-3y=b+3\\ \left(b-1\right)x+5y=a+8\end{array}$  

Para liczb (2,5; -1) ma być rozwiązaniem układu równań, więc podstawiamy do układu x=2,5; y=-1 i wyznaczamy a oraz b.

$\{\begin{array}{l}\left(5+a\right)\cdot 2,5-3\cdot \left(-1\right)=b+3\\ \left(b-1\right)\cdot 2,5+5\cdot \left(-1\right)=a+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}12,5+2,5a+3=b+3\\ 2,5b-2,5-5=a+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}12,5+2,5a=b\\ 2,5b=a+15,5\end{array}$  

Podstawiamy b=2,5a+12,5 do drugiego równania.

$\{\begin{array}{l}b=2,5a+12,5\\ 2,5\left(2,5a+12,5\right)=a+15,5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=2,5a+12,5\\ 6,25a+31,25=a+15,5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=2,5a+12,5\\ 5,25a=-15,75\mid :5,25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=2,5a+12,5\\ a=-3\end{array}$  

Podstawiamy a=-3 do pierwszego równania.

$\{\begin{array}{l}b=2,5\cdot \left(-3\right)+12,5\\ a=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-7,5+12,5\\ a=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=5\\ a=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=5\end{array}$  

Odp. Para liczb (2,5; -1) jest rozwiązaniem układu równań, gdy a=-3, b=5.

---

$\text{d)}\{\begin{array}{l}\left(a+2\right)x+\left(2-b\right)y=2b\\ \left(b-2\right)y-ax=4\end{array}$  

Para liczb (5, 14) ma być rozwiązaniem układu równań, więc podstawiamy do układu x=5, y=14 i wyznaczamy a oraz b.

$\{\begin{array}{l}\left(a+2\right)\cdot 5+\left(2-b\right)\cdot 14=2b\\ \left(b-2\right)\cdot 14-a\cdot 5=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}5a+10+28-14b=2b\\ 14b-28-5a=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}5a=16b-38\\ 14b-5a=32\end{array}$  

Podstawiamy 5a=16b-38 do drugiego równania.

$\{\begin{array}{l}5a=16b-38\\ 14b-\left(16b-38\right)=32\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}5a=16b-38\\ 14b-16b+38=32\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}5a=16b-38\\ -2b=-6\mid :\left(-2\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}5a=16b-38\\ b=3\end{array}$  

Podstawiamy b=3 do pierwszego równania.

$\{\begin{array}{l}5a=16\cdot 3-38\\ b=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}5a=48-38\\ b=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}5a=10\mid :5\\ b=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\end{array}$  

Odp. Para liczb (5, 14) jest rozwiązaniem układu równań, gdy a=2, b=3.