a) Niech:

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$  

Największa wartość funkcji jest równa 2, więc q=2.

Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby -1 i 3, więc korzystając ze wzoru:

$p=\frac{x_1+x_2}{2}$

mamy:

$p=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1$  

Mamy już współrzędne wierzchołka wykresu tej funkcji.

$W=\left(1,2\right)$

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$

Wówczas wzór funkcji przyjmuje postać:

$f\left(x\right)=a{\left(x-1\right)}^2+2$  

Wykorzystajmy informację, że liczba 3 jest miejscem zerowym tej funkcji, aby obliczyć $a$. Mamy:

$f\left(3\right)=0$  

$a\cdot {\left(3-1\right)}^2+2=0$  

$a\cdot 2^2=-2$  

$4a=-2\mid :4$  

$a=-\frac{1}{2}$  

Otrzymujemy:

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{\left(x-1\right)}^2+2$  

Przekształcamy wzór funkcji do postaci ogólnej:

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{\left(x-1\right)}^2+2=-\frac{1}{2}\left(x^2-2x+1\right)+2=-\frac{1}{2}{x}^2+x-\frac{1}{2}+\frac{4}{2}=-\frac{1}{2}{x}^2+x+\frac{3}{2}$  

---

b) Niech:

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$  

Zbiorem wartości funkcji jest przedział <-5, +oo), więc q=-5.

Miejscami zerowymi funkcji są liczby -3 i 7, więc:

$p=\frac{x_1+x_2}{2}$

$p=\frac{-3+7}{2}=\frac{4}{2}=2$  

Więc

$W=\left(2,-5\right)$

Wówczas wzór funkcji przyjmuje postać:

$f\left(x\right)=a{\left(x-2\right)}^2-5$  

Liczba -3 jest miejscem zerowym funkcji, więc:

$f\left(-3\right)=0$  

$a\cdot {\left(-3-2\right)}^2-5=0$  

$a\cdot {\left(-5\right)}^2=5$  

$25a=5\mid :25$  

$a=\frac{1}{5}$  

Otrzymujemy:

$f\left(x\right)=\frac{1}{5}{\left(x-2\right)}^2-5$  

Przekształcamy wzór funkcji do postaci ogólnej:

$f\left(x\right)=\frac{1}{5}{\left(x-2\right)}^2-5=\frac{1}{5}\left(x^2-4x+4\right)-5=\frac{1}{5}{x}^2-\frac{4}{5}x+\frac{4}{5}-\frac{25}{5}=\frac{1}{5}{x}^2-\frac{4}{5}x-\frac{21}{5}$  

---

c) Niech:

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$  

Najmniejsza wartość funkcji jest równa 0, więc q=0.

Dla argumentów 2 i 4 funkcja przyjmuje tę samą wartość, więc wtedy też możemy skorzystać ze wzoru:

$p=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3$  

Więc

$W=\left(3,0\right)$

Wówczas wzór funkcji przyjmuje postać:

$f\left(x\right)=a{\left(x-3\right)}^2$  

Podstawiamy współrzędne punktu (4, 5) do wzoru funkcji $f$ i wyznaczamy a:

$f\left(4\right)=5$  

$a\cdot {\left(4-3\right)}^2=5$  

$a\cdot 1^2=5$  

$a=5$  

Otrzymujemy:

$f\left(x\right)=5{\left(x-3\right)}^2$  

Przekształcamy wzór funkcji do postaci ogólnej:

$f\left(x\right)=5{\left(x-3\right)}^2=5\left(x^2-6x+9\right)=5x^2-30x+45$