$\text{a)}y=2x^2-3x-2$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-2\right)=9+16=25,\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$  

$x_1=\frac{3-5}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2},x_2=\frac{3+5}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2$  

Zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$y=2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)$  

---

$\text{b)}y=-x^2+x+6$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$\Delta =1^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 6=1+24=25,\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$  

$x_1=\frac{-1-5}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-6}{-2}=3,x_2=\frac{-1+5}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{4}{-2}=-2$  

Zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$y=-\left(x-3\right)\left(x+2\right)$  

---

$\text{c)}y=4x^2-x-3$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 4\cdot \left(-3\right)=1+48=49,\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$  

$x_1=\frac{1-7}{2\cdot 4}=\frac{-6}{8}=-\frac{3}{4},x_2=\frac{1+7}{2\cdot 4}=\frac{8}{8}=1$  

Zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$y=4\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(x-1\right)$  

---

$\text{d)}y=3x^2-5x+1$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 3\cdot 1=25-12=13,\sqrt{\Delta }=\sqrt{13}$  

$x_1=\frac{5-\sqrt{13}}{2\cdot 3}=\frac{5-\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{5+\sqrt{13}}{2\cdot 3}=\frac{5+\sqrt{13}}{6}$  

Zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$y=3\left(x-\frac{5-\sqrt{13}}{6}\right)\left(x-\frac{5+\sqrt{13}}{6}\right)$  

---

$\text{e)}y=-4x^2+2x-1$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$\Delta =2^2-4\cdot \left(-4\right)\cdot \left(-1\right)=4-16=-12<0$  

Δ<0, więc trójmian nie ma pierwiastków i nie można go przedstawić w postaci iloczynowej.

---

$\text{f)}y=x^2+\sqrt{3}x-6$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$\Delta ={\left(\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=3+24=27,\sqrt{\Delta }=\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$  

$x_1=\frac{-\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{2}=\frac{-4\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3},x_2=\frac{-\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$  

Zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$y=\left(x+2\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)$  

---

$\text{g)}y=10-2x^2=-2x^2+10$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$\Delta =0^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 10=80,\sqrt{\Delta }=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$  

$x_1=\frac{0-4\sqrt{5}}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-4\sqrt{5}}{-4}=\sqrt{5},x_2=\frac{0+4\sqrt{5}}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{4\sqrt{5}}{-4}=-\sqrt{5}$  

Zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$y=-2\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)$  

---

$\text{h)}y=\frac{1}{3}{x}^2+\frac{1}{6}x$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$\Delta ={\left(\frac{1}{6}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{3}\cdot 0=\frac{1}{36},\sqrt{\Delta }=\sqrt{\frac{1}{36}}=\frac{1}{6}$  

$x_1=\frac{-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}}{2\cdot \frac{1}{3}}=\frac{-\frac{2}{6}}{\frac{2}{3}}=-\frac{2}{6}\cdot \frac{3}{2}=-\frac{1}{2},x_2=\frac{-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}{2\cdot \frac{1}{3}}=\frac{0}{\frac{2}{3}}=0$  

Zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$y=\frac{1}{3}x\left(x+\frac{1}{2}\right)$  

---

$\text{i)}y=6x^2+9$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$\Delta =0^2-4\cdot 6\cdot 9=0-216=-216<0$  

Δ<0, więc trójmian nie ma pierwiastków i nie można go przedstawić w postaci iloczynowej.