Wiedząc, że do wykresu funkcji kwadratowej f(x)=ax2 +bx+c należą punkty P(xp , yp ) oraz W(xw , yw ) , gdzie W jest wierzchołkiem paraboli, możemy zapisać równania:
f ( x p ) = y p
f ( x w ) = y w
x w = − 2 a b
Zapisując powyższe równania jako układ równań wyznaczymy z niego współczynniki a, b i c .
a)
⎩ ⎨ ⎧ f ( 0 ) = 2 f ( 2 ) = 0 x w = 2
⎩ ⎨ ⎧ a ⋅ 0 + b ⋅ 0 + c = 2 a ⋅ 2 2 + b ⋅ 2 + c = 0 − 2 a b = 2 ∣ ⋅ ( − 2 a )
⎩ ⎨ ⎧ c = 2 4 a + 2 b + c = 0 b = − 4 a
Podstawiamy c=2 do drugiego równania w układzie.
⎩ ⎨ ⎧ c = 2 4 a + 2 b + 2 = 0 ∣ : 2 b = − 4 a
⎩ ⎨ ⎧ c = 2 2 a + b + 1 = 0 b = − 4 a
Podstawiamy b=-4a do drugiego równania w układzie.
⎩ ⎨ ⎧ c = 2 2 a − 4 a + 1 = 0 b = − 4 a
⎩ ⎨ ⎧ c = 2 − 2 a = − 1 ∣ : ( − 2 ) b = − 4 a
⎩ ⎨ ⎧ c = 2 a = 2 1 b = − 4 a
Podstawiamy a=1/2 do trzeciego równania w układzie.
⎩ ⎨ ⎧ c = 2 a = 2 1 b = − 4 ⋅ 2 1
⎩ ⎨ ⎧ c = 2 a = 2 1 b = − 2
⎩ ⎨ ⎧ a = 2 1 b = − 2 c = 2
b)
⎩ ⎨ ⎧ f ( 0 ) = 0 f ( − 1 ) = − 1 x w = − 1
⎩ ⎨ ⎧ a ⋅ 0 + b ⋅ 0 + c = 0 a ⋅ ( − 1 ) 2 + b ⋅ ( − 1 ) + c = − 1 − 2 a b = − 1 ∣ ⋅ ( − 2 a )
⎩ ⎨ ⎧ c = 0 a − b + c = − 1 b = 2 a
Podstawiamy c=0 do drugiego równania w układzie.
⎩ ⎨ ⎧ c = 0 a − b = − 1 b = 2 a
Podstawiamy b=2a do drugiego równania w układzie.
⎩ ⎨ ⎧ c = 0 a − 2 a = − 1 b = 2 a
⎩ ⎨ ⎧ c = 0 − a = − 1 ∣ ⋅ ( − 1 ) b = 2 a
⎩ ⎨ ⎧ c = 0 a = 1 b = 2 a
Podstawiamy a=1 do trzeciego równania w układzie.
⎩ ⎨ ⎧ c = 0 a = 1 b = 2 ⋅ 1
⎩ ⎨ ⎧ c = 0 a = 1 b = 2
⎩ ⎨ ⎧ a = 1 b = 2 c = 0
c)
⎩ ⎨ ⎧ f ( 3 ) = 1 f ( 0 ) = 3 x w = 0
⎩ ⎨ ⎧ a ⋅ 3 2 + b ⋅ 3 + c = 1 a ⋅ 0 + b ⋅ 0 + c = 3 − 2 a b = 0 ∣ ⋅ ( − 2 a )
⎩ ⎨ ⎧ 9 a + 3 b + c = 1 c = 3 b = 0
Podstawiamy b=0 oraz c=3 do pierwszego równania w układzie.
⎩ ⎨ ⎧ 9 a + 3 ⋅ 0 + 3 = 1 c = 3 b = 0
⎩ ⎨ ⎧ 9 a = − 2 ∣ : 9 c = 3 b = 0
⎩ ⎨ ⎧ a = − 9 2 c = 3 b = 0
⎩ ⎨ ⎧ a = − 9 2 b = 0 c = 3
d)
⎩ ⎨ ⎧ f ( − 2 ) = 0 f ( − 1 ) = 3 x w = − 1
⎩ ⎨ ⎧ a ⋅ ( − 2 ) 2 + b ⋅ ( − 2 ) + c = 0 a ⋅ ( − 1 ) 2 + b ⋅ ( − 1 ) + c = 3 − 2 a b = − 1 ∣ ⋅ ( − 2 a )
⎩ ⎨ ⎧ 4 a − 2 b + c = 0 a − b + c = 3 b = 2 a
Podstawiamy b=2a do pierwszego i drugiego równania w układzie.
⎩ ⎨ ⎧ 4 a − 2 ⋅ 2 a + c = 0 a − 2 a + c = 3 b = 2 a
⎩ ⎨ ⎧ 4 a − 4 a + c = 0 − a + c = 3 b = 2 a
⎩ ⎨ ⎧ c = 0 − a + c = 3 b = 2 a
Podstawiamy c=0 do drugiego równania w układzie.
⎩ ⎨ ⎧ c = 0 − a = 3 ∣ ⋅ ( − 1 ) b = 2 a
⎩ ⎨ ⎧ c = 0 a = − 3 b = 2 a
Podstawiamy a=-3 do trzeciego równania w układzie.
⎩ ⎨ ⎧ c = 0 a = − 3 b = 2 ⋅ ( − 3 )
⎩ ⎨ ⎧ c = 0 a = − 3 b = − 6
⎩ ⎨ ⎧ a = − 3 b = − 6 c = 0
e)
⎩ ⎨ ⎧ f ( 2 ) = 1 f ( 1 ) = 2 x w = 1
⎩ ⎨ ⎧ a ⋅ 2 2 + b ⋅ 2 + c = 1 a ⋅ 1 2 + b ⋅ 1 + c = 2 − 2 a b = 1 ∣ ⋅ ( − 2 a )
⎩ ⎨ ⎧ 4 a + 2 b + c = 1 a + b + c = 2 b = − 2 a
Podstawiamy b=-2a do pierwszego i drugiego równania w układzie.
⎩ ⎨ ⎧ 4 a + 2 ⋅ ( − 2 a ) + c = 1 a − 2 a + c = 2 b = − 2 a
⎩ ⎨ ⎧ 4 a − 4 a + c = 1 − a + c = 2 b = − 2 a
⎩ ⎨ ⎧ c = 1 − a + c = 2 b = − 2 a
Podstawiamy c=1 do drugiego równania w układzie.
⎩ ⎨ ⎧ c = 1 − a + 1 = 2 b = − 2 a
⎩ ⎨ ⎧ c = 1 − a = 1 ∣ ⋅ ( − 1 ) b = − 2 a
⎩ ⎨ ⎧ c = 1 a = − 1 b = − 2 a
Podstawiamy a=-1 do trzeciego równania w układzie.
⎩ ⎨ ⎧ c = 1 a = − 1 b = − 2 ⋅ ( − 1 )
⎩ ⎨ ⎧ c = 1 a = − 1 b = 2
⎩ ⎨ ⎧ a = − 1 b = 2 c = 1
f)
⎩ ⎨ ⎧ f ( 1 ) = 2 f ( 2 ) = 4 x w = 2
⎩ ⎨ ⎧ a ⋅ 1 2 + b ⋅ 1 + c = 2 a ⋅ 2 2 + b ⋅ 2 + c = 4 − 2 a b = 2 ∣ ⋅ ( − 2 a )
⎩ ⎨ ⎧ a + b + c = 2 4 a + 2 b + c = 4 b = − 4 a
Podstawiamy b=-4a do pierwszego i drugiego równania w układzie.
⎩ ⎨ ⎧ a − 4 a + c = 2 4 a + 2 ⋅ ( − 4 a ) + c = 4 b = − 4 a
⎩ ⎨ ⎧ − 3 a + c = 2 4 a − 8 a + c = 4 b = − 4 a
⎩ ⎨ ⎧ c = 3 a + 2 − 4 a + c = 4 b = − 4 a
Podstawiamy c=3a+2 do drugiego równania w układzie.
⎩ ⎨ ⎧ c = 3 a + 2 − 4 a + 3 a + 2 = 4 b = − 4 a
⎩ ⎨ ⎧ c = 3 a + 2 − a = 2 ∣ ⋅ ( − 1 ) b = − 4 a
⎩ ⎨ ⎧ c = 3 a + 2 a = − 2 b = − 4 a
Podstawiamy a=-2 do pierwszego i trzeciego równania w układzie.
⎩ ⎨ ⎧ c = 3 ⋅ ( − 2 ) + 2 a = − 2 b = − 4 ⋅ ( − 2 )
⎩ ⎨ ⎧ c = − 6 + 2 a = − 2 b = 8
⎩ ⎨ ⎧ c = − 4 a = − 2 b = 8
⎩ ⎨ ⎧ a = − 2 b = 8 c = − 4
