Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta ABC wyznaczamy długość przeciwprostokątnej c:

$6^2+8^2=c^2$  

$36+64=c^2$  

$100=c^2$  

$c=10$  

---

Pole trójkąta może obliczyć jako połowę iloczynu przeciwprostokątnych lub jako połowę iloczynu długości przeciwprostokątnej i wysokości opuszczonej na tę przeciwprostokątną. Stąd:

$\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=\frac{1}{2}\cdot h\cdot c\mid \cdot 2$  

$6\cdot 8=h\cdot 10$  

$48=10h\mid :10$  

$h=4,8$  

---

Trójkąty APC oraz ACB mają po jednym kącie prostym oraz wspólny kąt BAC, więc są podobne na podstawie cechy KKK.

Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta APC do trójkąta ACB:

$k_1=\frac{\left|PC\right|}{\left|BC\right|}=\frac{4,8}{6}=\frac{48}{60}=\frac{8}{10}=0,8$  

---

Odcinkowi d trójkąta APC odpowiada odcinek h trójkąta ACB. Zatem:

$\frac{d}{h}=k_1$  

$\frac{d}{4,8}=0,8\mid \cdot 4,8$  

$d=3,84$  

---

Trójkąty AQP oraz ACB mają po jednym kącie prostym oraz wspólny kąt BAC, więc są podobne na podstawie cechy KKK.

Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta AQP do trójkąta ACB:

$k_2=\frac{\left|PQ\right|}{\left|BC\right|}=\frac{3,84}{6}=0,64$  

---

Stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali podobieństwa. Zatem:

$\frac{P_{\text{AQP}}}{P_{\text{ACB}}}=k_2^2={\left(0,64\right)}^2=0,4096$  

---

Należy zakodować liczbę 409.