•  Odcinki AP i BQ są środkowymi trójkąta, więc punkty P i Q są środkami boków BC i AC. W trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków jest równoległy do trzeciego boku. Stąd PQ||AB.

•  Kąty AOB i POQ mają równe miary jako kąty wierzchołkowe.

$\left|\sphericalangle AOB\right|=\left|\sphericalangle POQ\right|$  

• PQ||AB, więc kąty BAO i QPO oraz OBA i OQP to kąty naprzemianległe wewnętrzne i ich miary są równe. 

$\left|\sphericalangle BAO\right|=\left|\sphericalangle QPO\right|$  

$\left|\sphericalangle OBA\right|=\left|\sphericalangle OQP\right|$  

W takim razie trójkąty ABO i PQO są podobne na podstawie cechy KKK.

• Wiadomo, że odcinek łączący środki dwóch boków jest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie. Stąd:

$\left|PQ\right|=\frac{1}{2}\left|AB\right|$  

Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta ABO do trójkąta PQO:

$k=\frac{\left|AB\right|}{\left|PQ\right|}=\frac{\left|AB\right|}{\frac{1}{2}\left|AB\right|}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$  

Z podobieństwa trójkątów ABO i PQO wynika, że:

$\frac{\left|AO\right|}{\left|OP\right|}=k=2=\frac{2}{1}$   

$\frac{\left|BO\right|}{\left|OQ\right|}=k=2=\frac{2}{1}$  

Powyższy zapis oznacza, że punkt O dzieli środkowe AP i BQ w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.

---

Poprowadźmy środkową CR.

•  Odcinki AP i CR są środkowymi trójkąta, więc punkty P i R są środkami boków BC i AB. W trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków jest równoległy do trzeciego boku. Stąd PR||AC.
•  Kąty ASC i RSP mają równe miary jako kąty wierzchołkowe.

$\left|\sphericalangle ASC\right|=\left|\sphericalangle RSP\right|$  

PR||AC, więc kąty CSA i SPR oraz SAC i PRS to kąty naprzemianległe wewnętrzne i ich miary są równe. 

$\left|\sphericalangle CSA\right|=\left|\sphericalangle SPR\right|$  

$\left|\sphericalangle SAC\right|=\left|\sphericalangle PRS\right|$  

W takim razie trójkąty ACS i PRS są podobne na podstawie cechy KKK.

• Wiemy, że w trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków jest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie. Stąd:

$\left|PR\right|=\frac{1}{2}\left|AC\right|$  

Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta ACS do trójkąta PRS:

$k=\frac{\left|AC\right|}{\left|PR\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\frac{1}{2}\left|AC\right|}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$  

Z podobieństwa trójkątów ACS i PRS wynika, że:

$\frac{\left|AS\right|}{\left|SP\right|}=k=2=\frac{2}{1}$   

$\frac{\left|CS\right|}{\left|SR\right|}=k=2=\frac{2}{1}$  

Powyższy zapis oznacza, że punkt S dzieli środkowe AP i CR w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.

---

Z powyższych obliczeń wynika, że punkty O i S dzielą odcinek AP w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka, czyli jest to ten sam punkt (S=O). Oznacza to, że wszystkie środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, co należało dowieść.