a) Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABE obliczamy |BE|:

${\left|AB\right|}^2+{\left|BE\right|}^2={\left|AE\right|}^2$  

$8^2+{\left|BE\right|}^2={10}^2$  

$64+{\left|BE\right|}^2=100$  

${\left|BE\right|}^2=36$  

$\left|BE\right|=6$  

Odcinek BE jest prostopadły do odcinka AC, więc BE||CD. Stąd trójkąty ABE i ACD są podobne na podstawie cechy KKK.

Z podobieństwa tych trójkątów:

• $\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BE\right|}{\left|CD\right|}$  

$\frac{8}{8+x}=\frac{6}{7,5}$  

$\frac{8}{8+x}=\frac{6}{\frac{15}{2}}$  

$\frac{8}{8+x}=\frac{12}{15}$  

$\frac{8}{8+x}=\frac{4}{5}\mid \cdot 5\left(8+x\right)$  

$40=4\left(8+x\right)$  

$40=32+4x$  

$8=4x\mid :4$  

$x=2$  

• $\frac{\left|BE\right|}{\left|CD\right|}=\frac{\left|AE\right|}{\left|AD\right|}$  

$\frac{6}{7,5}=\frac{10}{10+y}$  

$\frac{6}{\frac{15}{2}}=\frac{10}{10+y}$  

$\frac{12}{15}=\frac{10}{10+y}$  

$\frac{4}{5}=\frac{10}{10+y}\mid \cdot 5\left(10+y\right)$  

$4\left(10+y\right)=50$  

$40+4y=50$  

$4y=10\mid :4$  

$y=2,5$  

$\text{Odp.}x=2,y=2,5.$  

---

b) Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABE obliczamy |AB|:

${\left|AE\right|}^2+{\left|BE\right|}^2={\left|AB\right|}^2$  

${12}^2+9^2={\left|AB\right|}^2$  

$144+81={\left|AB\right|}^2$  

$225={\left|AB\right|}^2$  

$\left|AB\right|=15$  

Wówczas:

$\left|AC\right|=\left|AB\right|+\left|BC\right|=15+5=20$  

Trójkąty ABE i ACD są prostokątne i mają wspólny kąt BAE, więc są podobne na podstawie cechy KKK.  

Z podobieństwa tych trójkątów:

• $\frac{\left|BE\right|}{\left|CD\right|}=\frac{\left|AE\right|}{\left|AC\right|}$  

$\frac{9}{x}=\frac{12}{20}$  

$\frac{9}{x}=\frac{3}{5}\mid \cdot 5x$  

$45=3x\mid :3$  

$x=15$  

• $\frac{\left|AE\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|AB\right|}{\left|AD\right|}$  

$\frac{12}{20}=\frac{15}{12+y}$  

$\frac{3}{5}=\frac{15}{12+y}\mid \cdot \frac{1}{3}$  

$\frac{1}{5}=\frac{5}{12+y}\mid \cdot 5\left(12+y\right)$  

$12+y=25$  

$y=13$  

$\text{Odp.}x=15,y=13.$