Przeczytaj podany w ramce przykład...- Zadanie 7: MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Przekształcamy równanie prostej S₁ do postaci kierunkowej.

${x = 3 + 2 t y = 5 - t$

${2 t = x - 3 ∣ : 2 y = 5 - t$

${t = \frac{1}{2} (x - 3) y = 5 - t$

Z pierwszego równania wyznaczamy $t : t = \frac{1}{2} (x - 3)$ i podstawiamy do drugiego równania:

$y = 5 - t = 5 - \frac{1}{2} (x - 3) = 5 - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} = \frac{10}{2} - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} = - \frac{1}{2} x + \frac{13}{2}$

Otrzymujemy:

$S_{1} : y = - \frac{1}{2} x + \frac{13}{2}$

Przekształcamy równanie prostej S₂ do postaci kierunkowej.

${x = 3 t y = - 1 + t$

${3 t = x ∣ : 3 y = - 1 + t$

${t = \frac{1}{3} x y = - 1 + t$

Z pierwszego równania wyznaczamy $t : t = \frac{1}{3} x$ i podstawiamy do drugiego równania:

$y = - 1 + t = - 1 + \frac{1}{3} x = \frac{1}{3} x - 1$

Otrzymujemy:

$S_{2} : y = \frac{1}{3} x - 1$

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych S₁ i S₂:

${y = - \frac{1}{2} x + \frac{13}{2} y = \frac{1}{3} x - 1$

Podstawiamy y=1/3x-1 do pierwszego równania w układzie.

${\frac{1}{3} x - 1 = - \frac{1}{2} x + \frac{13}{2} y = \frac{1}{3} x - 1$

${\frac{2}{6} x + \frac{3}{6} x = \frac{13}{2} + \frac{2}{2} y = \frac{1}{3} x - 1$

${\frac{5}{6} x = \frac{15}{2} ∣ \cdot \frac{6}{5} y = \frac{1}{3} x - 1$

${x = 9 y = \frac{1}{3} x - 1$

Podstawiamy x=9 do drugiego równania w układzie.

${x = 9 y = \frac{1}{3} \cdot 9 - 1$

${x = 9 y = 3 - 1$

${x = 9 y = 2$

Proste S₁ i S₂ przecinają się w punkcie P(9, 2).

Parametr t możemy interpretować jako czas, w którym przemieszczały się ślimaki. Ślimaki się spotkają, jeśli znajdą się w tym samym czasie t w punkcie P(9, 2).

Obliczamy, dla jakiej wartości parametru t do wykresu prostej S₁ należy punkt P(9, 2):

${9 = 3 + 2 t 2 = 5 - t$

${6 = 2 t ∣ : 2 - 3 = - t ∣ \cdot (- 1)$

${t = 3 t = 3$

Pierwszy ślimak znajdzie się w punkcie P w czasie t=3.

Obliczamy, dla jakiej wartości parametru t do wykresu prostej S₂ należy punkt P(9, 2):

${9 = 3 t ∣ : 3 2 = - 1 + t$

${3 = t 3 = t$

${t = 3 t = 3$

Drugi ślimak znajdzie się w punkcie P w czasie t=3.

Odp. Ślimaki się spotkają, ponieważ znajdą się w punkcie P(9, 2) w chwili t=3.

b) Przekształcamy równanie prostej S1 do postaci kierunkowej.

${x = 6 t y = 8 - 2 t$

${6 t = x ∣ : 6 y = 8 - 2 t$

${t = \frac{1}{6} x y = 8 - 2 t$

Z pierwszego równania wyznaczamy $t : t = \frac{1}{6} x$ i podstawiamy do drugiego równania:

$y = 8 - 2 t = 8 - 2 \cdot \frac{1}{6} x = 8 - \frac{1}{3} x = - \frac{1}{3} x + 8$

Otrzymujemy:

$S_{1} : y = - \frac{1}{3} x + 8$

Przekształcamy równanie prostej S₂ do postaci kierunkowej.

${x = 3 t y = - 4 + 2 t$

${3 t = x ∣ : 3 y = - 4 + 2 t$

${t = \frac{1}{3} x y = - 4 + 2 t$

Z pierwszego równania wyznaczamy $t : t = \frac{1}{3} x$ i podstawiamy do drugiego równania:

$y = - 4 + 2 t = - 4 + 2 \cdot \frac{1}{3} x = - 4 + \frac{2}{3} x = \frac{2}{3} x - 4$

Otrzymujemy:

$S_{2} : y = \frac{2}{3} x - 4$

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych S₁ i S₂:

${y = - \frac{1}{3} x + 8 y = \frac{2}{3} x - 4$

Podstawiamy y=2/3x-4 do pierwszego równania w układzie.

${\frac{2}{3} x - 4 = - \frac{1}{3} x + 8 y = \frac{2}{3} x - 4$

${\frac{2}{3} x + \frac{1}{3} x = 8 + 4 y = \frac{2}{3} x - 4$

${\frac{3}{3} x = 12 y = \frac{2}{3} x - 4$

${x = 12 y = \frac{2}{3} x - 4$

Podstawiamy x=12 do drugiego równania w układzie.

${x = 12 y = \frac{2}{3} \cdot 12 - 4$

${x = 12 y = 8 - 4$

${x = 12 y = 4$

Proste S₁ i S₂ przecinają się w punkcie P(12, 4).

Parametr t możemy interpretować jako czas, w którym przemieszczały się ślimaki. Ślimaki się spotkają, jeśli znajdą się w tym samym czasie t w punkcie P(12, 4).

Obliczamy, dla jakiej wartości parametru t do wykresu prostej S₁ należy punkt P(12, 4):

${12 = 6 t ∣ : 6 4 = 8 - 2 t$