Współrzędne punktu wspólnego trzech płaszczyzn spełniają równania tych płaszczyzn, więc możemy je wyznaczyć, rozwiązując układ równań trzech równań z trzema niewiadomymi.

---

$\text{a)}$  

$\{\begin{array}{l}2x-y+z=4\\ 4x+y-z=2\\ 3x-3y+z=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x-y+z=4\\ 4x+y-z=2\\ z=1-3x+3y\end{array}$  

Podstawiamy  z=1-3x+3y do pierwszego i drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}2x-y+1-3x+3y=4\\ 4x+y-\left(1-3x+3y\right)=2\\ z=1-3x+3y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x+2y=3\\ 4x+y-1+3x-3y=2\\ z=1-3x+3y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2y-3\\ 7x-2y=3\\ z=1-3x+3y\end{array}$  

Podstawiamy x=2y-3 do drugiego i trzeciego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=2y-3\\ 7\left(2y-3\right)-2y=3\\ z=1-3\left(2y-3\right)+3y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2y-3\\ 14y-21-2y=3\\ z=1-6y+9+3y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2y-3\\ 12y=24\mid :12\\ z=10-3y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2y-3\\ y=2\\ z=10-3y\end{array}$  

Podstawiamy y=2 do pierwszego i trzeciego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=2\cdot 2-3\\ y=2\\ z=10-3\cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=4-3\\ y=2\\ z=10-6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=4\end{array}$  

Odp. Płaszczyzny P₁, P₂ i P₃ przecinają się w punkcie (1, 2, 4).

---

$\text{b)}$  

$\{\begin{array}{l}x+2y+z=7\\ 2x+y-z=2\\ x+2y-z=9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+2y+z=7\\ 2x+y-z=2\\ z=x+2y-9\end{array}$  

Podstawiamy z=x+2y-9 do pierwszego i drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x+2y+x+2y-9=7\\ 2x+y-\left(x+2y-9\right)=2\\ z=x+2y-9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x+4y=16\mid :2\\ 2x+y-x-2y+9=2\\ z=x+2y-9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+2y=8\\ x-y=-7\\ z=x+2y-9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=8-2y\\ x-y=-7\\ z=x+2y-9\end{array}$  

Podstawiamy x=8-2y do drugiego i trzeciego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=8-2y\\ 8-2y-y=-7\\ z=8-2y+2y-9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=8-2y\\ -3y=-15\mid :\left(-3\right)\\ z=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=8-2y\\ y=5\\ z=-1\end{array}$  

Podstawiamy y=5 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=8-2\cdot 5\\ y=5\\ z=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=8-10\\ y=5\\ z=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=5\\ z=-1\end{array}$  

Odp. Płaszczyzny P₁, P₂ i P₃ przecinają się w punkcie (-2, 5, -1).